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この問題を教えてください!!

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ID非公開さん

2018/8/220:45:18

この問題を教えてください!!

xy平面においてら曲線c:√x+√y=1について考える

cと直線l:x+y=1で囲まれる部分をlのまわりに一回転してできる体積を求めよ

お願いします!

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カテゴリマスター

2018/8/313:33:06

計算ミス多発ですみません。3種の方法で結果が一致することを確認しました。

3通りの方法を理解することで応用力が付くと思います。


1)地道に計算する方法

x+y=1をt軸と考え、xy平面の (0, 1)をt軸の原点と考える

t軸 t=T(0≦T≦√2)の点〔xy平面で (T/√2, 1–T/√2)…⓪〕に直交する直線の方程式

y–(1–T/√2)=(x–T/√2)

y=x–√2T+1…①

√x+√y=1…②

①と②の交点

(T^2/2, T^2/2–√2 T + 1)…③

⓪と③の距離の二乗=d^2

d^2=(T^2/2–T/√2)^2+{(T^2–√2T)/2}^2
=T^2(T–√2)^2/2

V=π∫[0→√2] T^2(T–√2)^2/2 dT=π√2/15


2)カバリエリの原理を使う方法

x+y=1をt軸と考え、xy平面の (0, 1)をt軸の原点と考える

t=Tのときx=T/√2

(T/√2, (1−√(T/√2))^2) :x=T/√2の時の 曲線C上の点

からx+y=1までの距離dは以下の式で得られる

d=|T/√2+(1−√(T/√2))^2−1|/√(1^2+1^2)
=|√2*T−2√(T/√2)|/√2

t軸で積分する

V=π∫[0→√2]{√2*t−2√(t/√2))/√2}^2dt
=π√2/15

カバリエリの原理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AA%...

ーーー

3)傘積分による方法

V=π・cos45∫[0→1]{(1-x)−(1−√x)^2)}^2dx
=π/√2∫[0→1]2^2(√x-x)^2dx
=2√2π∫[0→1](√x-x)^2dx
=π√2/15

傘積分
https://mathtrain.jp/kasagata

*:1の方法が一番計算が大変なのですが、これを計算している時に不整合が発覚し、計算ミスがあることに気づきました。。。

m(._.)m

  • 2018/8/313:45:20

    カバリエリの原理を使う方式では t軸上の 0≦t≦√2 である各点を

    曲線 √x+√y=1

    上の点に1対1に対応させ、その点からx+y=1までの距離を計算して体積を求めています。

    興味深いのは回転した結果得られる物体の形状は異なるのですが、上記点の1対1対応からカバリエリの原理が適用でき、同じ体積になります。

    m(._.)m

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質問した人からのコメント

2018/8/7 23:06:44

ご丁寧にありがとうございます!

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1〜1件/1件中

jet********さん

2018/8/423:58:35

曲線C:x^0.5+y^0.5=1 ①

直線I:x+y=1 ->y=-x+1 ②

CとIとで囲まれてる部分のx範囲は0≦x≦1

Fig.1でIとCを点A(1,0)を中心に(-pi/4)回転させる

ことを考える。

点(x,y)をA(1,0)を中心にθ回転した場合の座標を(X,Y)とすれば

X=(x-1)cosθ-(y-0)(-sinθ)+1

Y=(x-1)sinθ+(y-0)cosθ+0

θ=-pi/4 なので cos(±pi/4)=1/√2 sin(±pi/4)=±1/√2 (復号同順)

X=1/√2(x+y-1)+1 ③

Y=1/√2(y-x+1) ④

<直線Iを回転する場合>

(x,y)=(x,-x+1)

③ ,④にy=-x+1を代入すれば


X=1

Y=√2(-x+1)=√2y

直線Iは回転した結果X=1の直線になりYの値は√2yで変化する

<曲線Cを回転する場合>

(x,y)=(x,(1-√x)^2)

③にy=(1-√x)^2を代入して

X=1/√2{x+(1-√x)^2-1}+1

X=√2(x-√x)+1 ⑤

④にy=(1-√x)^2を代入して

Y=1/√2{(1-√x)^2-x+1}

Y=√2(1-√x) ⑥

⑥より

√x=1-Y/√2 -> x=(1-Y/√2)^2

これを⑤に代入すれば

X=√2{(1-Y/√2)^2-(1-Y/√2)}+1

X=-Y^2/√2+Y+1 ⑦

⑦をYについて解けば

Y=[√2±{2-4*√2*(1-X)}^0.5]/2 ⑧

Fig.2 に ⑧とX=1のグラフを示す。

求める回転体の体積Vは


V=∫[Y=0->√2]pi*{1-X}^2dY

⑦より


V=∫[Y=0->√2]pi*{1-(-Y^2/√2+Y+1)}^2dY

V=∫[Y=0->√2]pi*{0.5*Y^4-√2*Y^3+Y^2}dY

V=[Y=0->√2]pi*{0.1*Y^5-(√2/4)*Y^4+(1/3)*Y^3}

V=[0.1*(√2)^5-(√2/4)*(√2)^4+(1/3)*(√2)^3]*pi

V=[2/5-1+2/3]√2*pi=pi*√2/15 [答え]

曲線C:x^0.5+y^0.5=1 ①

直線I:x+y=1 -&gt;y=-x+1 ②...

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