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インテグラル0から1√(2-x^2)^3dx

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ID非公開さん

2018/9/719:11:37

インテグラル0から1√(2-x^2)^3dx

を教えてください。

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部分積分を使うと

I=∫[0,1]x´√(2-x²)³dx

=[x√(2-x²)³][0,1]-∫[0,1]x(-3x)√(2-x²)dx

=1+3∫[0,1]x²√(2-x²)dx

=1-3∫[0,1]{(2-x²)-2}√(2-x²)dx

=1-3∫[0,1]√(2-x²)³dx+6∫[0,1]√(2-x²)dx

公式 ∫√(a²-x²)dx=(1/2){x√(a²-x²)+a²sin⁻¹(x/a)}+C

=1-3I+3[x√(2-x²)+2sin⁻¹(x/√2)][0,1]

=1-3I+3(1+π/2)

I=1+(3/8)π

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