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ガウス平面問題です。 (1)点z0=1+3iを通り、原点oとz0を結ぶ線分に垂直な直線上...

whw********さん

2018/10/822:17:51

ガウス平面問題です。
(1)点z0=1+3iを通り、原点oとz0を結ぶ線分に垂直な直線上にある複素数zをすべて求めなさい。
(2)円|z-i|=√3上の任意のzをω=z+i/2iz+5で変換する。

このとき、ωはある円上に移る。この円の中心と半径を求めなさい。という問題です。
2問ともよろしくお願いいたします。

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bib********さん

2018/10/822:29:17

(1)
点z[0]=1+3iを通り、原点Oとz[0]を結ぶ線分に垂直な直線上にある複素数zは、
|z-0|=|z-z[0]|
を満たします。
つまり、
|z|=|z-(1+3i)|
となる。

(2)
円|z-i|=√3上の任意のzをw=(z+i)/(2iz+5)で変換するとき、
w=(z+i)/(2iz+5)をzについてときます。
すると、
z=(i-5w)/(2iw-1)
となる。|z-i|=√3に代入すると、
|(i-5w)/(2iw-1) -i|=√3
整理すると、
|2i-3w|=√3 |2iw-1|

両辺を2乗する。
|z|^{2}=zz* (z*はzの複素共役)に注意する。
計算すると、
|w|=1/√3
となる。
したがって、中心が原点、半径1/√3
の円となる。

質問した人からのコメント

2018/10/8 22:33:18

早々のご教授、本当にありがとうございました。助かりました!

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