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数学の質問です。

qax********さん

2018/10/2317:00:32

数学の質問です。

画像の問題なんですが、f(x)=0の整数解をnとすると、n(n^3+an^2+bn)=-1より、整数解は1と1、1と-1、-1と-1に絞れます。ここでの1と-1の時、f(x)=(x-1)(x+1)(x^1+rx-1)=0。x^1+rx-1の判別式>0よりf(x)は虚数解を持たない。となってたのですが、問題文に反してませんか?4次方程式は二つの整数解と二つの虚数解を持つと書いてると思うのですが。解説よろしくお願いします

整数解,虚数解,問題文,1+rx-1,C1,二つ,x-1

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ベストアンサーに選ばれた回答

hir********さん

2018/10/2317:55:55

勘違いしてるようだが。

>問題文に反してませんか?

だから、この場合は除外される。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

j_b********さん

2018/10/2318:37:15

3つのケースがあります
①実解が重解でない
②1が重解
③―1が重解
「重複を込めた」という文言がはいてることに注意してください
以下計算してみましたが、計算違い等あったら勘弁願います
a,b,cは整数であることをお忘れなく(a,b)の計算は省略させていただいてます


実解が重解でないと仮定すると
2つの整数の解→1、-1

f(1)=1+a+b+c+1=a+b+c+2=0
f(-1)=1-a+b-c+1==-a+b-c+2=0

辺辺加えると
2b+4=0
b=-2
a+c=0→c=-a
f(x)=x^4+ax^3-2x^2-ax+1
=(x+1)(x-1)(x^2+ax-1)

x^2+ax-1=0
は実解を持つので不適格

重解x=1を持つとすると
f(1)=1+a+b+c+1=0
f(x)=x^4-(b+c+2)x^3+bx^2+cx+1
=(x^3+(ーbーcー1)x^2+(-c-1)x-1)(x-1)

g(x)=(x^3+(ーbーcー1)x^2+(-c-1)x-1)
g(1)=-b-2c-2=0
b=-2c-2
f(x)=(x-1)^2{x^2+(c+2)x+1}
(c+2)^2-4<0
c^2+4c<0
-4<c<0 c=-3、-2、-1

重解x=ー1を持つとすると
f(-1)=1-a+b-c+1=0
f(x)=x^4+(bーc+2)x^3+bx^2+cx+1
={x^3+(bーc+1)x^2+(c-1)x+1}(x+1)
h(x)=x^3+(bーc+1)x^2+(c-1)x+1
h(-1)=-1+b-c+1-c+1+1=b-2c+2=0
b=2c-2
h(x)=x^3+(c-1)x^2+(c-1)x+1
=(x+1)^2{x^2+(cー2)x+1}
(c-2)^2-4<0
c^2-4c<0
0<c<4
c=1,2,3

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