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(P2) a(1)=1,b(1)=−1,a(n+1)=5a(n)−4b(n) b(n+1)=a(n)+b(n)が成り立つとき、a(n)...

hgd********さん

2018/10/3106:53:51

(P2)
a(1)=1,b(1)=−1,a(n+1)=5a(n)−4b(n)
b(n+1)=a(n)+b(n)が成り立つとき、a(n)とb(n)を求めてください

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bud********さん

2018/10/3107:18:08

a(1)=1,b(1)=−1,a(n+1)=5a(n)−4b(n)
b(n+1)=a(n)+b(n)が成り立つとき、a(n)とb(n)を求めてください
Xn=
an
bn
M=
5,-4
1,1
X(n+1)=MXn
Xn=M^nX0
X1=
1
-1
3X0=3M^(-1)X1=
-1
-2
(M-3E)^2=O
M^n=n3^(n-1)(M-3E)+3^nE
Xn=n3^(n-1)(X1-3X0)+3^nX0
=3^(n-1){nX1-(n-1)3X0}
an=(2n-1)・3^(n-1)
bn=(n-2)・3^(n-1)

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ベストアンサー以外の回答

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lag********さん

2018/10/3107:46:41

本質的には連立漸化式は行列で解きますが,今の高校生は習わないので、行列で解いても全く意味がない。なので普通は行列と同じ処理を行列を使わずに行います。

a(n+1)=5a(n)−4b(n)ー①
b(n+1)=a(n)+b(n)ー②より
a(n+1)+kb(n+1)=5an−4bn+k(an+bn)
a(n+1)+kb(n+1)=(5+k)an+(−4+k)bn
1:k=(5+k):(−4+k)となるkを求める。
K-4=k^2+5kよりk=-2
代入すると
a(n+1)-2b(n+1)=5an−4bn-2(an+bn)
a(n+1)-2b(n+1)=3(an−2bn)
∴an−2bn=3^(n-1)(a1−2b1)=3^n
an=2bn+3^nとb(n+1)=a(n)+b(n)より
b(n+1)=bn+2bn+3^n
b(n+1)=3bn+3^n
後は普通に解く。

他には単に消去してもよい。

a(n+1)=5a(n)−4b(n)ー①
b(n+1)=a(n)+b(n)ー②より
a(n)=b(n+1)-b(n)を①に代入して
b(n+2)-b(n+1)=5(b(n+1)-b(n))−4b(n)
b(n+2)-b(n+1)=5b(n+1)-5b(n)−4b(n)
b(n+2)-6b(n+1)+9b(n)=0
後は普通に。

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