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会社の事務で、(おそらく)十数年ぶりに高校数学を使う必要が出てきました。 具体...

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ID非公開さん

2018/10/3114:04:01

会社の事務で、(おそらく)十数年ぶりに高校数学を使う必要が出てきました。
具体的には次のような計算です。

次のように、玉入れを想定しています。

i:入れなければならない玉の数
j:玉を投げて入る確率(99%で成功できるなら、0.99)
k:失敗しこぼれた玉を、拾い直して投げるための時間
とし、最終的には、iとkは固定、jを変化させながら、
全ての玉を投げ入れられるまでの、拾い直す時間の合計を知りたいと思っています。
今回は、拾い直す時間に着目したいため、初回の試行時間は無視したいです。

例えば、99%の精度で投げ入れられる人(j= 0.99)が、10,000個の玉(i = 10,000)を投げるとき、
i * (1 - j) = 10,000 * (1 - 0.99) = 100個の玉がこぼれ落ち、
こぼれ落ちた玉を3秒で拾い直して投げられる(k = 3)とすると
100 * 3 = 300秒かかります。
1巡目の試行が終わった時点で9,900個は無事に入り、100個の玉を投げ直し終わり(成否はまだ不明)、300秒要したと言えると思います。
数式では、
1巡目経過時間 t1 = i * (1 - j) * k ですよね。

次に、投げ直した100個の玉について、これも99%の精度で入りますので、
100 * (1 - 0.99) = 1個の玉がこぼれ落ち、
1 * 3 = 3秒かけて拾い直して投げますので、
2巡目の試行が終わった時点で9999個は無事に入り、1個の玉を投げ直し、合計33秒かかった。と言えると思います。
2巡目経過時間 t2 = t1 + i * (1 - j)^2 * k になると思います

n巡目を終えたときの経過時間は
-------------------------
n
Σ = i * (1 - j)^n * k
k=1
-------------------------
となるように思っていますが合っていますでしょうか。

https://atarimae.biz/archives/10252
このページの、"(5)等比数列の第n項までの総和"を参照しながら、
これを総和すると
初項:i * (1 - j) * k
公比:(1 - j)
なので、
(i * (1 - j) * k){(1 - j)^n - 1)} / {(1 - j) - 1}
ですよね。

n = ∞のとき、
(i * (1 - j) * k){(0) - 1)} / (-j) であって、
(i * (1 - j) * k) / j
に収束する、というのが自分で出した想定です。

上のケースでは、303.03030...秒となりますし、
ここに例えば、成功率100%(j = 1.00)の人がやってくると、0(拾い直し時間はなし)となりますし、
成功率0%(j = 0.00)の人がやってくると、∞(一向に終わらない)になりますので、
確からしいな、とは思うものの、
いかんせん、高校数学ははるか昔に勉強したぐらいで、応用した経験は始めてなので、
正しいか確認させていただきたいです。


よろしくおねがいします。

補足すみません、中程に
>合計33秒かかった。と言えると思います。
と書きましたが
>合計303秒
の誤りです。

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ベストアンサーに選ばれた回答

齋藤 朗さん

2018/10/3116:25:25

大変良くお勉強されてのでしょうね。これだけきちんとできるの
でしたら、高校の塾の先生ができるのでは?【第2のキャリアか?!】

記号の使い方で,気を遣ってほしい点は
Σ[k=…] としてしまうと、式の最後のkの値が変わってしまうので,
別の記号にしないと….

n→∞の件ですが、式はご指摘の通りで正解です。
ただし、その後の議論でj=0と0の場合は、
等比数列の和の時点で、別の式になりますので、
収束した式でj=0,1の議論は、多少無理気味かな(?)
という感じです。

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質問した人からのコメント

2018/11/1 05:13:42

お褒めのお言葉ありがとうございます。安心しました。

高校の授業では、大学受験のために勉強していましたが、
困り事に応用できると、すごく嬉しいものですね。

記号の使い方、j=0,1の注意点もよくわかりました。ありがとうございます。

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