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線形代数の証明問題

さん

2018/11/218:51:16

線形代数の証明問題

rank(A)=r⇔Aの小行列のうち、行列式が0でないものの最大次数がr

示し方を教えてください

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yakinikuさん

2018/11/314:55:54


rankA=rのとき、Aにはr個の一次独立な行ベクトルが存在し、それをa1,a2,...,arとする。この行ベクトルからなる行列をCとすると、Cには一次独立なr個の列ベクトルb1,b2,...,brが存在し,この列ベクトルからなるr次正方行列をArとする。このとき
|Ar|≠0であり、これはAの小行列である。またArを含むr+1次の小行列Br+1の行ベクトルはすべてAのr+1個の行ベクトルの一部であり、rankA=rより、Br+1の行ベクトルの中の任意の1行は他の行の一次結合で表せるので、|Br+1|=0である。

|Ar|≠0のようなr次小行列があり、これを含むr+1次小行列をBr+1とする。|Br+1|=0よりBr+1のArに含まれない部分の1列は他のr個の列ベクトルの一次結合で書ける。この1列はAの中のArに含まれない列から任意にとってこれるので、Br+1の行ベクトルが含まれているAのr+1個の行ベクトルからなる行列をC'とすると、rankC'=rとなる。よってC'にはr個の一次独立な行ベクトルが存在し(これはArの行ベクトルが含まれている部分の行である)、残りの1行は他のr個の行ベクトルの1次結合で書ける。この残りの1行は最初のBr+1の取り方によってAの任意の行からもってこれるので、Aの行ベクトルの中で一次結合なものはr個である。よってrankA=r

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ZeTeSさん

編集あり2018/11/219:20:10

Aが与えられたら、そいつから一意的にきまる単因子がある訳ですが、
その単因子行列をBとし、
A=PBQとなるような、正則行列P,QはそれぞれAからBを導出する際に用いた行基本変形、列基本変形に対応する基本行列の積になってます。このP,Qのdetは±1
で、単因子というのは、e1,...,erとおくと
Δ(A,k)=e1e2...ek
(Δ(A,k):Aのk次小行列式全てのgcd)
となります(この証明はだるいので、てか知恵袋の解答欄に書くようなものじゃないのでパス)。
rもAから一意に決まるのですが
それこそmax{k:Δ(A,k)≠0}であたえられます。(これも証明は知恵袋に書くようなものじゃないのでパス。)
このことから、主張が従います。

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