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大学数学、フラクタル幾何のボックス・カウント次元についての質問です。_________...

mat********さん

2018/11/712:44:43

大学数学、フラクタル幾何のボックス・カウント次元についての質問です。____________________________________________
ボックス次元の定義としては、

考えている図形をd次元空間R^d内の有

界な集合とする。一辺εのd次元立方体によってその集合を被覆するとき、N(ε)を球または立方体の個数の最小値とする。

ボックスカウント次元(容量次元)D_0は以下のようになります。

D_0=lim[ε→0]{log(N(ε))/log(1/ε)}

例として、R内の集合{0,1,1/2,1/3,…}のボックス次元を考えます。[0,1]を幅1/n^2の区間に分割して、{0,1,1/2,1/3,…}と交わる区間の個数を考えます。

左側n個の区間が{0,1/n,1/(n+1),…}を覆います。また、{1,1/2,1/3,…,1/(n-1)}に関しては点と点の距離が1/n^2より大きいのでn-1個の区間で覆われます。

なので、ε=1/n^2、N(1/n^2)=n+(n-1)=2n-1となるので、ボックス次元D_0は

D_0=lim[n→∞]log(2n-1)/log(n^2)=1/2となります。
________________________________________________

◎質問ですが、集合{0,1,1/4,1/9,…}のボックス次元の求め方は以下で大丈夫でしょうか?

[0,1]を幅1/n^4の区間で分割して、{0,1,1/4,1/9,…}と交わる区間の個数を考える。左側n個の区間が{0,1/n^2,1/(n+1)^2,…}を覆い、集合{1,1/4,1/9,…,1/(n-1)^2}の点は、点と点の距離が1/n^4より大きいので、n-1個の区間がこの集合を覆う。

よって、ε=1/n^4、N(1/n^4)=n+(n-1)=2n-1となるので、ボックス次元D_0は

D_0=lim[n→∞]log(2n-1)/log(n^4)=1/4となる。

この質問は、chi********さんに回答をリクエストしました。

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ベストアンサーに選ばれた回答

chi********さん

リクエストマッチ

2018/11/712:51:16

別のサイトで既に回答している方がおります。

以下はその方の回答のコピーです。

http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=82728&qu=1

nを1/(n-1)^2-1/n^2>εとなる最大の整数とすると
1/(n-1)^2-1/n^2=(2n-1)/{n(n-1)}^2だから ε≒2/n^3

mをmε≧1/n^2となる最小の整数とするとm≒n/2

よって N(ε)=m+n-1≒(3/2)n
したがって
D_0
=lim[ε→0]{log(N(ε))/log(1/ε)}
=lim[n→∞]{log((3/2)n)/log(n^3/2)}
=1/3

いろいろと不足があるので補足します。
N(ε)=m+n-1について

mは{0,1/n^2,1/(n+1)^2,...}
を覆うのに必要な区間の数
n-1は1,1/4,1/9,...,1/(n-1)^2
を覆うのに各点1つずつ、
計n-1個の区間が必要ということに由来しています。
また、実際にはN(ε)とm+n-1はo(n)のずれが生じている可能性もあるので、その辺も確認が必要ではないかと思います。

verbalさんの解答ではε=1/n^4として
{0,1/n^2,1/(n+1)^2,…}

{1,1/4,1/9,…,1/(n-1)^2}に分割していますが、
例えばnの大きさによっては、
1/n^2-1/(n+1)^2>1/n^4となり、

間隔が1/n^4より大きい点の数はn-1個よりも多くなるため、N(1/n^4)の計算にずれが生じています。

また、恣意的にε=1/n^4 などと置くのも厳密性を欠いていると思います。

  • 質問者

    mat********さん

    2018/11/714:43:50

    確認するのを忘れておりました。今すぐ確認します。

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