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行列式の計算を教えて下さい! 1 1 1 1 1 a a^2 a^3 1 b b^2 b^3 1 c c^2 c^3

lig********さん

2018/11/1015:18:16

行列式の計算を教えて下さい!

1 1 1 1
1 a a^2 a^3
1 b b^2 b^3
1 c c^2 c^3

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candy712さん

2018/11/1110:11:56

1, .....1, .....1,..... 1
1, .....a, .....a², .....a³②行-①行
1, .....b, .....b², .....b³③行-①行
1,..... c, .....c²,..... c³④行-①行
=
1, .....1, .....1,..... 1
0, .....a-1, .....a²-1, .....a³-1
0, .....b-1, .....b²-1, .....b³-1
0,..... c-1, .....c²-1,..... c³-1
=
a-1, .....(a-1)(a+1), .....(a-1)(a²+a+1)÷(a-1)
b-1, .....(b-1)(b+1), .....(b-1)(b²+b+1)÷(b-1)
c-1, .....(c-1)(c+1),..... (c-1)(c²+c+1)÷(c-1)
=(a-1)(b-1)(c-1)
1, .....(a+1), .....(a²+a+1)
1, .....(b+1), .....(b²+b+1)②行-①行
1, .....(c+1),..... (c²+c+1)③行-①行
=(a-1)(b-1)(c-1)


1, .....(a+1), .....(a²+a+1)
0, .....(b-a), .....(b²-a²+b-a)
0, .....(c-a),..... (c²-a²+c-a)
=(a-1)(b-1)(c-1)
(b-a), .....(b²-a²+b-a)
(c-a),..... (c²-a²+c-a)
=(a-1)(b-1)(c-1)
(b-a), .....(b-a)(a+b+1)÷(b-a)
(c-a),..... (c-a)(a+c+1)÷(c-a)
=(a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)
1, .....(a+b+1)
1,..... (a+c+1)②行-①行
=(a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)
1, .....(a+b+1)
0,..... (c-b)
=(a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)(c-b)

=-(a-1)(b-1)(c-1)(a-b)(b-c)(a-c)

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lig********さん

1 1 1 1
1 a a^2 a^3
1 b b^2 b^3
1 c c^2 c^3


2行-1行、3行-1行、4行-1行

1 0 0 0
1 a-1 a²-1 a³-1
1 b-1 b²-1 b³-1
1 c-1 c²-1 c³-1


1行で展開

a-1 a²-1 a³-1
b-1 b²-1 b³-1
c-1 c²-1 c³-1


共通因子(a-1)(b-1)(c-1) を括りだすと

|1 a+1 a²+a+1|
|1 b+1 b²+b+1|(a-1)(b-1)(c-1)
|1 c+1 c²+c+1 |


2行-1行、3行-1行

|1 a+1 a²+a+1|
|0 b-a b²-a²+b-a|(a-1)(b-1)(c-1)
|0 c-a c²-a²+c-a |


1列で展開

|b-a b²-a²+b-a|(a-1)(b-1)(c-1)
|c-a c²-a²+c-a |


共通因子(b-a)(c-a) を括りだすと

|1 b+a+1|(a-1)(b-1)(c-1)(b-a)(c-a)
|1 c+a+1|

=(a-1)(b-1)(c-1)(a-b)(b-c)(c-a)



【別解】ヴァンデルモンド行列の証明法を使う

ざっくり解くと…

1 1 1 1
1 a a^2 a^3
1 b b^2 b^3
1 c c^2 c^3

たとえば a=1を代入すると、1行と2行が同じになるので行列式は0

つまり因数定理により行列式は a-1 を因数に持つ。

他も同様に考えて

(行列式)=(a-1)(b-1)(c-1)(a-b)(b-c)(c-a)f(a,b,c)

とおける。

(a-1)(b-1)(c-1)(a-b)(b-c)(c-a)について

(ab²c³ の係数)=1

与えられた行列式の対角成分を掛け合わせると 1ab²c³

∴f(a,b,c)

∴(行列式)=(a-1)(b-1)(c-1)(a-b)(b-c)(c-a)


厳密な解法は https://mathtrain.jp/vandermonde を参照

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