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2次不等式の問題です。 『2次不等式x²+2mx+1≧0が0≦x≦2において常に成り立つよう...

bxd********さん

2019/1/1307:09:43

2次不等式の問題です。
『2次不等式x²+2mx+1≧0が0≦x≦2において常に成り立つようなmの値の範囲を求めよ』という問題です。
x²+2mx+1=0とおいて、判別式D=4m²-4がD>0,D=0,D<0の場合について

考えていましたが、途中でわからなくなりました。0≦x≦2においてというのをどのようにとらえたら良いか、というところで行き詰まってしまいました。どのように解けばいいか教えてください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

kjd********さん

2019/1/1307:12:50

場合分けの方法が違う

軸が0≦X≦2の間にあるのかどうかで
分けるんですよ

3パターンに分かれますから
それぞれのグラフを書いてみてください

  • kjd********さん

    2019/1/1309:37:31

    f(X)=X^3+2mx+1とする
    f(X)=(X+m)^2-m^2+1

    で軸はX=-mとなる

    -m<0、つまりm>0の時
    f(X)は下に凸の放物線より
    0≦X≦2の間ではX=2が最小値となり
    X=2の時のYの値が≧0になればいいので
    f(2)=1となり
    これは常に満たすため
    m>0の時は問題なし・・・①

    0≦-m≦2、つまり-2≦m≦0の時
    f(X)は下に凸の放物線より
    頂点の時が最小値となり
    頂点のY座標が≧0となればいいので
    頂点のY座標は-m^2+1より
    -m^2+1≧0
    m^2≦1
    -1≦m≦1
    元々の条件が
    -2≦m≦0より
    合わせて
    -1≦m≦0・・・②

    最後に
    -m>2、つまりm<-2の時
    f(X)は下に凸の放物線より
    0≦X≦2の間ではX=2が最小値となり
    X=2の時のYの値が≧0になればいいので
    f(2)=4+4m+1=5+4mとなり
    5+4m≧0
    4m≧-5
    m≧-5/4
    ただし元々の条件がm<-2より
    これは満たさない・・・③

    ①、②、③より
    m≧-1




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質問した人からのコメント

2019/1/13 18:13:50

わかりやすい説明ありがとうございました

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j_b********さん

2019/1/1308:13:32

x²+2mx+1≧0
2mx≧-x^2-1

x=0のとき
mの値に無関係に不等号は成立します
x≠0
xは正なので
2m≧-(x+1/x)
=-(x+1/xー2)ー2
=-{(√x)^2ー2・√x・(1/√x)+(1/√x)^2}ー2
=-{√xー1/√x}^2ー2≦ー2

2m≧ー2のとき不等号は常に成立します
答え m≧ー1

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