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二物体間の力学的エネルギー保存則についてです。問題を解いていてふと思ったので...

ezw********さん

2019/1/1421:01:22

二物体間の力学的エネルギー保存則についてです。問題を解いていてふと思ったのですが、画像のような問題で台が固定されている場合小球に関して力学的エネルギーが保存するのに対し、固定されて

いない場合だと台との間で保存することになりますが、どうして固定の有無によらずエネルギーは保存するのでしょうか?また、何故固定されていない場合は二物体間で力学的エネルギーが保存するのでしょうか?

エネルギー保存則,二物体間,曲面,垂直抗力N,P1+P2,仕事W1,反作用

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ken********さん

2019/1/1423:39:29

ezw********さん

小球が曲面を滑り降りているときに小球に働く力は、
重力:mg (鉛直下向き) ← 保存力
垂直抗力:N (曲面に垂直上向き) ← 非保存力
の2力です。

◆台が固定されている場合
小球は曲面に沿って運動し、
垂直抗力はその曲面に垂直なので、
垂直抗力は小球に仕事をしません。
結局、小球に保存力以外の力が仕事をしないので、
小球の力学的エネルギーは保存します。


◆台が自由に動ける場合
小球が曲面を滑り降りると、
台は垂直抗力N の反作用を受けて、左に加速されます。
そのため、小球の運動の軌道は、
曲面の形とは異なり、垂直抗力N と垂直になりません。

この問題の場合、
垂直抗力N と小球の速度のなす角は90° より大きくなり、
W=FScosθ より、垂直抗力がする仕事W1 は0ではなく負になります。
そのため、小球の力学的エネルギーは、
減少しながら、曲面を滑り降りることになります。
小球の力学的エネルギーは保存しません。

ただし、垂直抗力N の反作用が台に対してする仕事W2 が、
小球がされる仕事W1 と絶対値が等しく、
W1+W2=0 …①
となるため、小球が失った力学的エネルギーは、
台が受け取ることとなり、
小球と台を合わせた系については、
力学的エネルギーが保存することになります。


※ ①の証明
力F↑が物体にする仕事率P は、
物体の速度をv↑とすると、
P=F↑・v↑ (ベクトルの内積)
であることを踏まえ、

垂直抗力N↑が小球(速度v↑)にする仕事率P1 は、
P1=N↑・v↑
垂直抗力の反作用-N↑が台(速度V↑)にする仕事率P2 は、
P2=-N↑・V↑
よって、
P1+P2=N↑・(v↑-V↑)
ここで、v↑-V↑は、小球の台に対する相対速度であり、
台と一緒に運動する人から見た小球の速度なので、
常に曲面の接線方向を向いており、
垂直抗力N↑と垂直の関係にあるので、内積は0になります。
∴ P1+P2=0
曲面を滑り降りている間、ずっとP1+P2=0 ですから、
小球がされる仕事W1 と台がされる仕事W2 の和も0になります。
W1+W2=0

  • 質問者

    ezw********さん

    2019/1/1508:31:10

    台が固定されていない時は垂直抗力が小球にする仕事がFScosΘになるというのがイマイチわかりません。記述によると台上の人から見ると小球に働く垂直抗力は小球に対して垂直とありますが、これらの違いはなんでしょうか?

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