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奇数と分数は同じ数あるんですか?

sho********さん

2019/2/716:44:50

奇数と分数は同じ数あるんですか?

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51
回答数:
3

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ベストアンサーに選ばれた回答

mih********さん

2019/2/717:26:26

どちらも無限にあるため、「同じ数ある」ということは難しいです。
そこで有限だった場合に「同じ数ある」というのはどういうことかを考えて、無限に拡張します。
それは「1対1で対応づけることができる」かどうかです。
リンゴ3個とみかん3個がある場合にリンゴ1個とみかん1個を対応付けるとどちらも余らず1対1に対応付けることができます。
これでリンゴとみかんが「同じ数ある」ということができます。

今回は奇数と分数で同じ数あるかどうかです。
これを比べるときに、間に「自然数」を挟みます。
まず、すべての奇数を
1,-1,3,-3,5,-5....と正の奇数と負の奇数を交互に並べます。
こうすると、1番目は[1] 2番目は[-1] 3番目は[3] ...99番目は[99] 100番目は[-99] ....と数えていくことができます。
数列のN番目、と言えば必ず一つの奇数を表しますし、一つの奇数はこの数列の何番目かで表すことができます。
つまり、すべての奇数とN番目すなわち自然数を1対1で対応付けることができました。
したがって「奇数と自然数は同じ数だけある」ということができます。

分数は少し面倒ですが、分母と分子をそれぞれ縦横にして
1/1 1/2 1/3 1/4...
2/1 2/2 2/3 2/4...
3/1 3/2 3/3 3/4...
4/1 4/2 4/3 4/4...
...
...
という表を作ります。
これを1/1の角から斜めに数えていきます。
このとき約分できるところは飛ばします。
すると 1/1,1/2,2/1,1/3,3/1,1/4,2/3,3/2,4/1 ...と並べることができ、数えることができます。
数えることができるということは、自然数と同じ数だけあるということです。
なので、分数と自然数は同じ数だけあります。
奇数と自然数の数が同じで、分数と自然数の数が同じなので、
奇数と分数の数も同じだけあるといえます。

ですが、無限の数で「同じ数だけ」という言い方も座りが悪いので、
「奇数の無限と分数の無限の濃度が同じである」といったような言い方をします。
また、このように自然数と対応付けることができる無限を「加算無限」といいます。

余談ですが、無理数の数は加算無限ではありません。
どんな順番でもいいので、まず無理数を並べてみます。
0.11111245...
0.14159236....
0.22360679...
0.98458732...
....

これですべての無理数を並べられば数えることができるのですが。
いま、ある数を考えます。
この数は小数第1位が上の数列の1番目と異なります。
上の例だと、1番目は0.11111245...なので小数1桁目が1以外です。
仮に2としましょう。
0.2...? です。
小数2桁目は2番目の数0.14159236...の4と異なればいいので適当に9とかにします。
0.29...?
小数3桁目は3番目の数0.22360679...の3と異なる数でまた適当に8とか。
0.298...?

とにかく、N桁目はN番目の数のN桁目と違う数にします。
こうしてできたある数は、この表のどの無理数とも違うここに並んでいないはずの無理数になります。
つまり、すべての無理数を並べて数えることができないということで
無理数は加算無限より大きい濃度をもつことになります。

  • 質問者

    sho********さん

    2019/2/719:56:40

    無理数とか有理数っていうのがどういう意味なのか分かりません 教えてください

返信を取り消しますが
よろしいですか?

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質問した人からのコメント

2019/2/9 10:44:54

とても難しい回答でしたが詳しく書いてくださったので 何度も読んで理解しようと思います

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qqm********さん

2019/2/716:50:29

10までの数字の中で、奇数は、1,3,5,7,9の5つ、分数は無限に存在します。
1/2、1/2.1,1/2.2.....

返信を取り消しますが
よろしいですか?

  • 取り消す
  • キャンセル

nxs********さん

2019/2/716:47:14

いくらでもあるという意味では同じですが
1/2,1/4と同じ奇数でいくらでも作れるので同じ数とはいえないです

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