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5で割ると3余り、11で割ると6余る自然数を小さい方から順にa1,a2,a3…とするとき、 ...

o_f********さん

2019/2/1116:51:50

5で割ると3余り、11で割ると6余る自然数を小さい方から順にa1,a2,a3…とするとき、
解法について教えてください。

5で割ると3余り、11で割ると6余る自然数を5m+3,11n+6とそれぞれ表すと、

5m+3=11n+6
m=2n+(n+3)/5 …A

Aが整数でなければならない。
Aが整数となるのは、n=5k-3(kは整数)

とありますが、n=5k-3(kは整数)の意味がわかりません。

続いて、
(2)a30を求めなさい。
(3)a1,a2,・・・a100のうち53で割り切れるものはいくつありますか?

についても解説をお願いします。

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Highflyerさん

2019/2/1117:00:31

(n+3)/5が整数でないと困るので,kを整数だとして(n+3)/5=kとすればn=5k-3ですね.

これによって11n+6=11(5k-3)+6=55k-27と表されます.
k=1だと28になり,これが最小(1番目)のものですのでa[k]=55k-27と表せます.
ですからa[30]=1623です.
a[k]=55k-27=53p(pは整数)と表されるならば,
55k-53p=27
55(k-p)+2p=27
よりk-p=1,p=-14が一つの解として見つかり,k=-13,p=-14より一般解は
k=53q-13,p=55q-14(qは整数)となります.
このうちkが1以上100以下であるものは,q=1のときの40,q=2のときの93の2個です.

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