ここから本文です

a_n=Σ(1/k)-logn (Σは1〜n)として

アバター

ID非公開さん

2019/3/1202:59:46

a_n=Σ(1/k)-logn (Σは1〜n)として

a_n-a_n-1={-1/(n+1)}+log(n)-log(n+1)

1/{2n(1+n}より小さくなることを示しなさい。

補足a_n-a_(n+1)
={-1/(n+1)}-log(n)+log(n+1)
<1/{2n(n+1)}
を示したいです。

閲覧数:
24
回答数:
1

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

eev********さん

2019/3/1204:39:07

すみません,僕も色々勘違いしていたので書き直します.

先に書いた通り,(左辺)-(右辺)をnについて微分すればいいです.
つまり,関数
f(n)=-1/(n+1)-logn+log(n+1)-1/(2n(n+1)) (n>0)
を考えればいいです.

f'(n)
=1/(n+1)²-1/n+1/(n+1)+(2n+1)/(2n²(n+1)²)
=1/(2n²(n+1)²).
f'(n)>0 (n>0)なので,f(n)はn>0で単調増加です.

f(1)
=-1/(1+1)-log1+log(1+1)-1/(2*1*(1+1))
=-1/2-0+log2-1/4
=log2-3/4.
f(1)<0を示します.
e^x>1+x+x²/2 (x>0)が成り立ちます.
(e^xのMaclaurin展開に基づく)
((左辺)-(右辺)を微分すればいい)
よって,
e^(3/4)
>1+3/4+(3/4)²
=1+3/4+9/16
=37/16
=2.3125
>2.
よって,3/4>log2,即ち,f(1)<0が言えます.

一方,
lim[n→∞]1/(n+1)=0=lim[n→∞]1/(2n(n+1)),
lim[n→∞](-logn+log(n+1))
=lim[n→∞]log((n+1)/n)
=log( lim[n→∞](n+1)/n )
=log1
=0
より,
lim[n→∞]f(n)=0
となります.

以上より,f(n)<0 (n≥1).

よって,n∈ℕに対し,
-1/(n+1)-logn+log(n+1)<1/(2n(n+1))
が言えます.

  • この返信は取り消されました。

返信を取り消しますが
よろしいですか?

  • 取り消す
  • キャンセル

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる