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学術図書出版社『力学への道』第4章 演習問題 11 質量mの錘をつるして、バネ...

jia********さん

2019/3/1319:19:06

学術図書出版社『力学への道』第4章 演習問題 11

質量mの錘をつるして、バネ定数kのバネが長さℓだけ伸びて釣り合っている。この錘を速さvで急に下向きにはじくと、バネは最大限どれだけ伸びるか?

【答え】平衡状態からの伸び x-ℓ={√(m/k)}v


mg=kℓ
力学的エネルギー保存則より (1/2)mv²+mgx = (1/2)kx²

この二つから解こうとしたのですが、導出できません。

どこが間違っているのでしょうか?

何か基本を勘違いしているかもしれません。

おわかりになる方、ご教授お願い致します。

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回答数:
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ベストアンサーに選ばれた回答

chi********さん

2019/3/1320:08:00

解き方Ⅰ
自然の長さのときのばねの下端の位置を
原点として下方にx軸を設定します。

つり合いの時
mg=kl…①
運動方程式
mx''=mg-kx
これより
mx''-mg+kx=0
両辺xで積分して
mV^2/2-mgx+kx^2/2=一定
初期条件は
x=lで速度vなので
mV^2/2-mgx+kx^2/2=mv^2/2-mgl+kl^2/2
これが保存則です。
最大伸びるx座標をXとすると、V=0より
-mgX+kX^2/2=mv^2/2-mgl+kl^2/2
ここで①より
-klX+kX^2/2=mv^2/2-kl^2+kl^2/2
(k/2)X^2-klX-mv^2/2+kl^2/2=0
X=1/(k){lk+√{(lk)^2-4(-mv^2/2+kl^2/2)}
=1/(k){lk+√{(lk)^2-4(k/2)(-mv^2/2+kl^2/2)}
=l+{√(m/k)}v

解き方Ⅱ
つり合いのときのばねの下端の位置を
原点として下方にx軸を設定します。

つり合いの時
mg=kl…①
運動方程式
mx''=mg-k(x-l)
①より
mx''+kx=0
両辺xで積分して
mV^2/2+kx^2/2=一定
初期条件は
x=0で速度vなので
mV^2/2+kx^2/2=mv^2/2
これが保存則です。
最大伸びるx座標をXとすると、V=0より
kX^2/2=mv^2/2
これより
X={√(m/k)}v

解き方ⅠⅡとも
原点が違うだけで
答えは同じ結果です。

ただ、解き方Ⅱの方が
計算がずっと楽です。

質問した人からのコメント

2019/3/13 20:15:26

詳説ありがとうございました。m(_ _)m

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yok********さん

2019/3/1319:24:27

平衡位置でも弾性エネルギーが0でありません。

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