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f(x)=x(x-a)^2+bが、x=-1で極小値5をとるとき、a.bの値を求めよ。

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ID非公開さん

2019/3/2511:20:53

f(x)=x(x-a)^2+bが、x=-1で極小値5をとるとき、a.bの値を求めよ。

という問題を教えて下さい。
答えは(a,b)=(-3,9)です。

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ベストアンサーに選ばれた回答

kpi********さん

2019/3/2511:59:10

条件より、f(-1)=2が成り立ちます。よって、
f(-1)=-1・(-1-a)^2+b
=-a^2-2a+b-1=5
整理して、
a^2+2a-b+6=0 …①

また、f(x)を微分すると、
f'(x)=(x-a)^2+ x・2(x-a)
=3x^2-4ax+a^2…②

x=-1で極値をとるから、f'(-1)=0より、
f'(-1) =3+4a+a^2=0
aについて解くと、
(a+1)(a+3)=0
a=-1 , a=-3

これをそれぞれ②に代入し、f'(x)について考えると、
⑴a=-1のとき、
f'(x)=3x^2+4x+1
=(3x+1)(x+1)
このとき、x=-1で極大値、x=--1/3で極小値を取る。よって不適。

⑵a=-3のとき、
f'(x)=3x^2+12x+9
=3(x+1)(x+3)
このとき、x=-3で極大値、x=-1で極小値を取る。
①にa=-3を代入しbを求めると、
b=9
これより、(a,b)=(3,9)

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質問した人からのコメント

2019/3/25 12:39:34

ありがとうございましたm(__)m

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

oig********さん

2019/3/2511:49:25

f'(x)=(x-a)^2+2x(x-a)
=(3x-a)(x-a)
よってx=a,a/3で極値をとることがわかる。
f(x)のx^3の係数が正なので、a,a/3のうち大きい方で極小となる。

1)a≧0のとき
x=aで極小となるから
a=-1・・・不適

2)a<0のとき
x=a/3で極小となるから
a/3=-1
a=-3
f(x)=x(x+3)^2+b
f(-1)=-(2^2)+b=5
-4+b=5
b=9

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