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複素解析の分野の質問です. 領域(連結開集合)D上の正則な関数fがD上恒等的にf'(...

fik********さん

2019/5/821:37:06

複素解析の分野の質問です.

領域(連結開集合)D上の正則な関数fがD上恒等的にf'(z)=0ならばfは定数関数であることを示せ.

という問題で,「Dが領域」という条件が必要なのはどうしてでしょうか?


仮定f'(z)=0とコーシー・リーマンの方程式より,∂v/∂y = ∂u/∂x = 0, ∂v/∂x = -∂u/∂y = 0 .これからu,vが定数なので,f=u+ivも定数である.

と解答すると,「Dが領域」という仮定を使っていなくて気持ち悪いのです...

教えてくださる方,よろしくお願いします.

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ベストアンサーに選ばれた回答

eev********さん

2019/5/821:50:24

"これからu,vが定数なので"
が間違いです.
反例
D:={ z∈ℂ ; |z-2|<1 }∪{ z∈ℂ ; |z+2|<1 }
と置きます.
Dは開集合ではありますが,弧状連結ではないので,
Dは領域ではありません.
複素関数f:D→ℂを,
f(z)=±1 … z∈{ z∈ℂ ; |z±2|<1 }
(複号同順)
と定めます.
fは正則で,f'(z)=0 (z∈D) ですが,
fは定数関数ではありません.

Dが領域である,特に,どの2点も折れ線で結べることから,
D上の全ての点でfの値が等しいことが言えます.

質問した人からのコメント

2019/5/8 22:24:24

詳しく教えていただき、ありがとうございました。

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