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ラプラス変換の問題で、 t>0 →Pn(t)≡t^n のラプラス変換をF(s)とする時、 Fn...

yuu********さん

2019/5/3100:00:03

ラプラス変換の問題で、
t>0 →Pn(t)≡t^n のラプラス変換をF(s)とする時、
Fn(s)=n!/s^n+1 を証明せよという問題です。
この時、定理として、逆ラプラス変換 f’(t)=g(t)⇔sF(s)=G

(s) (t>0)(Re s=>c)を用いて良いという問題で、
略解ということで
(t^n)’=nt^n-1 sFn(s)=nFn-1(s) Fo(s)=1/sを使うということらしいのですが、
この2つ目の式と、3つ目の式はどこから導出したのか、どのような解法が正しいのか解説をお願いします。

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tra********さん

2019/5/3121:37:40

[yuu********さん]への回答

fn(t)=t^n............................................(1)
fn(t)のラプラス変換をFn(s)とすることを(2)で表す。
ℒfn(t)=Fn(s) ....................................................(2)
微分
ℒdfn(t)/dt=ℒnt^n-1=nℒt^n-1=nℒfn-1(t)=nFn-1(s).........(3)
微分のラプラス変換の公式
ℒdfn(t)/dt=sFn(s)...........................................(4)
(3)(4)より
sFn(s)=nFn-1(s)..............................................(5)
(5)より
Fn(s)=(n/s)Fn-1(s).............................................(6)
(6)の漸化式を解く.
Fn(s)/Fn-1(s)=(n/s)...............(7)
Fn-1(s)/Fn-2(s)=(n-1)/s..........(8)
.
.
F2(s)/F1(s)=2/s....................(9)
F1(s)/F0(s)=1/s........................(10)
(7)(8)(9)(10)より
Fn(s)/F0(s)=n!/s^n

Fn(s)=F0(s)n!/s^n
..........F0(s)=ℒf0(t)=ℒt^0=1=1/s
Fn(s)=F0(s)n!/s^n=n!/s^(n+1)
Fn(s)=ℒfn(t)=ℒt^n
ℒt^n=n!/s^(n+1)

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ssm********さん

2019/5/3108:11:40

定義から、
L{t^n}=∫[0~∞]t^n*e^(-st)dt, (n : 自然数, s>0)
L{t^n}=(n/s)*L{t^(n-1)}, L{t^0}=L{1}=1/s.
これから結論されます。

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