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(x3乗+x-1)3乗のx5乗の係数とx2乗の係数をもとめなさい。 この答えと解き方を教え...

mii********さん

2019/5/2921:36:02

(x3乗+x-1)3乗のx5乗の係数とx2乗の係数をもとめなさい。
この答えと解き方を教えて欲しいです!

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nij********さん

2019/5/3008:05:37

<多項定理>
(a+b+c)ⁿ
の展開式の一般項は、
{n!/(p!q!r!)}・a^p・b^q・c^r
p+q+r=n
p,q,rは、0以上の整数

(回答)
(x³+x-1)³の展開式の一般項は、
{3!/(p!q!r!)}・(x³)^p・x^q・(-1)^r
={3!/(p!q!r!)}・(-1)^r・x^(3p+q)
p+q+r=3
p,q,rは0以上の整数

x⁵の係数は、
3p+q=5
p+q+r=3
p,q,rは0以上の整数
すなわち、
(p,q,r)=(1,2,0)
のときより、
{3!/(1!2!0!)}・(-1)⁰
=3・1
=3

x²の係数は、
3p+q=2
(p,q,r)=(0,2,1)
のときより、
{3!/{(0!2!1!)}・(-1)¹
=3・(-1)
=-3


(参考)
(x³+x-1)³
=(x³+x-1)(x³+x-1)(x³+x-1)
=x⁹+-------+(-1)

x⁵の係数は、
x³を1回
xを2回
-1を0回
x³の箇所を決めるだけありますね。
3C1=3

x²の係数は、
x³を0回
xを2回
-1を1回
-1のカ所を決めればよいですね。
(参考)
x・x・(-1)+x・(-1)・x+(-1)・x・x
=-3x²

3C1・(-1)=-3

質問した人からのコメント

2019/5/30 19:52:13

ご丁寧にありがとうございます!

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