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f(x)=x^+x-6 g(x)=e^x h(x)=(x-1)^3とする 各写像について、 A={R(集合)∍x|-2≦...

cur********さん

2019/6/907:04:23

f(x)=x^+x-6 g(x)=e^x h(x)=(x-1)^3とする

各写像について、
A={R(集合)∍x|-2≦x≦2}の像
b={R(集合)∍y|-4≦y≦0}の逆像

をそれぞれ求めよ。

解き方と解答をお願いいたします。

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mut********さん

2019/6/1605:15:57

f(x)=x^2+x-6
g(x)=e^x
h(x)=(x-1)^3
A={x|-2≦x≦2}
B={y|-4≦y≦0}

fについてAの像は
f(A)={x^2+x-6|-2≦x≦2}
f(x)=x^2+x-6=(x+1/2)^2-25/4≧-25/4
f'(x)=2x+1
f(-2)=4-2-6=-4
x<-1/2の時f'(x)<0だからf(x)は減少
f(-1/2)=-25/4
x>-1/2の時f'(x)>0だからf(x)は増加
f(2)=4+2-6=0
-2≦x≦2の時-25/4≦f(x)≦0

f(A)={y|-25/4≦y≦0}

gについてAの像は
g(A)={e^x|-2≦x≦2}
g(x)=e^x
g'(x)=e^x>0
だから
g(x)は増加
g(-2)=e^(-2)=1/e^2
g(2)=e^2
だから
-2≦x≦2の時1/e^2≦g(x)≦e^2
だから

g(A)={y|1/e^2≦y≦e^2}

hについてAの像は
h(A)={(x-1)^3|-2≦x≦2}
h(x)=(x-1)^3
h'(x)=3(x-1)^2≧0
だから
h(x)は増加
h(-2)=(-2-1)^3=-27
h(2)=(2-1)^3=1
だから
-2≦x≦2の時-27≦h(x)≦1
だから

h(A)={y|-27≦y≦1}

fについてBの逆像は
f^(-1)(B)
={x|-4≦x^2+x-6≦0}
={x|x^2+x-6≦0}∩{x|-4≦x^2+x-6}
={x|(x+3)(x-2)≦0}∩{x|0≦x^2+x-2}
={x|-3≦x≦2}∩{x|0≦(x+2)(x-1)}
={x|-3≦x≦2}∩[{x|x≦-2}∪{x|x≧1}]
=[{x|-3≦x≦2}∩{x|x≦-2}]∪[{x|-3≦x≦2}∩{x|x≧1}]
={x|-3≦x≦-2}∪{x|1≦x≦2}

gについてBの逆像は
g^(-1)(B)≠φと仮定すると
x∈g^(-1)(B)
0≧g(x)=e^x>0となって矛盾するから

g^(-1)(B)=φ

hについてBの逆像は
h^(-1)(B)
={x|-4≦(x-1)^3≦0}
={x|-2^(2/3)≦x-1≦0}
={x|1-2^(2/3)≦x≦1}
≒{x|-0.5874≦x≦1}

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