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a=cos10°,b=cos50°,c=cos70°のとき、a ^2+b ^2+c ^2の値を求めなさい。 という...

war********さん

2019/6/917:20:48

a=cos10°,b=cos50°,c=cos70°のとき、a ^2+b ^2+c ^2の値を求めなさい。

という問題が解答を見ても解けません。
答えは3/2です。

a ^2+b ^2+c ^2=cos ^2 10°+cos ^2 50°+cos ^2 70°=(1-cos20°)/2 +(1-cos100°)/2

+(1-cos140°)/2 =3/2 -(cos20°+cos100°+cos140°)=3/2 -(cos20°+2cos120°cos20°)=3/2 -{cos20°+2・(-1/2) cos20°}=3/2 -(cos20°-cos20°)=3/2

2つ目の=の後がなぜ+でなく-なんですか??
あと、4つ目の=の後ろの()の中もわかりません。

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ベストアンサーに選ばれた回答

rep********さん

2019/6/917:34:11

> 2つ目の=の後がなぜ+でなく-なんですか??

半角の公式をつかっているので,+で正しいと思います。

> 4つ目の=の後ろの()の中もわかりません。

和積の公式を使っています。
cosA+cosB=2cos{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}
A=100°,B=140°とすれば
cos100°+cos140°
=2cos{(100°+140°)/2}cos{(100°-140°)/2}
=2cos120°cos(-20°)
=2cos120°cos20°
となります。

これを踏まえると,
a ²+b ²+c²
=cos²10°+cos²50°+cos²70°
=(1+cos20°)/2+(1+cos100°)/2+(1+cos140°)/2
=3/2+(cos20°+cos100°+cos140°)/2←(質問文では/2が抜けていました)
=3/2+(cos20°+2cos120°cos20°)/2
=3/2+{cos20°+2・(-1/2) cos20°}/2
=3/2+(cos20°-cos20°)/2
=3/2【答】

質問した人からのコメント

2019/6/9 18:26:46

やっぱり+でいいんですね!
ありがとうございます!!
納得しました

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

got********さん

2019/6/918:23:01

a=cos10°
b=cos50°=-cos130°=-cos(120°+10°)
c=cos70°=-cos250°=-cos(240°+10°)

a²+b²+c²

=cos²10°+cos²(120°+10°)+cos²(240°+10°)

=cos²10°
+(cos120°cos10°-sin120°sin10°)²
+(cos240°cos10°-sin240°sin10°)²

=cos²10°
+(cos120°cos10°-sin120°sin10°)²
+(cos120°cos10°+sin120°sin10°)²

=cos²10°
+(cos120°cos10°)²-2cos120°sin120°cos10°sin10°+(sin120°sin10°)²
+(cos120°cos10°)²+2cos120°sin120°cos10°sin10°+(sin120°sin10°)²

=cos²10°
+cos²120°cos²10°−2cos120°sin120°cos10°sin10°+sin²120°sin²10°
+cos²120°cos²10°+2cos120°sin120°cos10°sin10°+sin²120°sin²10°

=cos²10°
+2(cos²120°cos²10°+sin²120°sin²10°)

=cos²10°
+2{(-1/2)²cos²10°+(√3/2)²sin²10°}

=cos²10°
+2{(1/4)cos²10°+(3/4)sin²10°}

=cos²10°
+(1/2)cos²10°+(3/2)sin²10°

=(3/2)cos²10°+(3/2)sin²10°

=(3/2)(cos²10°+sin²10°)

=3/2

です。

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