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数B ベクトル

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ID非公開さん

2019/6/922:59:39

数B ベクトル

Oを原点とする座標平面に点A(2 ,1)と点B(1 ,-2)をとる 。
実数θ(0≦θ≦2π)に対して点PはOP(→)=(cosθ)OA(→)+(1-sinθ)OB(→)を満たすものとする。
このとき内積PA(→)・PB(→)の最大値と、そのときのθをもとめよ。
((→)はベクトルを表すものです。また前問で 点PはB(1,-2)を中心とする半径√5の円であることが分かっています。)
という問題で、画像のような模範解答を見たのですが、どうすればθ=π/4+πを導き出せるのか分かりません。教えていただきたいです。

ベクトル,座標平面,内積PA,模範解答,実数,中心角,ベクトル方程式

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ベストアンサーに選ばれた回答

ent********さん

2019/6/1005:36:56

Bを中心とする円周上に↑OA=↑BCを満たす点Cをとると,
θは∠CBPと等しい。(0≦θ≦πならなす角の小さい方,π<θ<2πならなす角の大きい方に等しい。)

θ>∠CBAのとき,θ=∠CBA+∠ABPであり,
OA=BC=OB,↑OA⊥↑OBより,△ABCは直角二等辺三角形
よって∠ABC=π/4,∠ABP=πなので,θ=π/4+π=5π/4


(2)で円のベクトル方程式を作ったときにθが円Bの中心角になることを確認できると思います。そこからθを∠ABPを用いて表します。

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質問した人からのコメント

2019/6/10 17:57:04

理解できました。ありがとうございました。

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