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[問題]a,bを正の数とし、x,yをx+y=1をみたす正の数とする。このとき、不等式a^3/x^...

hot********さん

2019/6/1022:51:39

[問題]a,bを正の数とし、x,yをx+y=1をみたす正の数とする。このとき、不等式a^3/x^2≧(a+b)^3が成り立つことを証明せよ。

質問なのですが、x(a/x)^3+y(b/y)^3までは分かるのですが、そのあとがよくわからないので、教えてほしいです。

正の数,不等式,x-y,a-b,不等式a,u&gt,t&lt

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ベストアンサーに選ばれた回答

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ID非公開さん

2019/6/1105:14:30

(*)からは、関数f(x)=x^3の凸性を利用しています。
(高校数学の問題集や参考書に多く掲載されている内容ですね。)

u>0 でf(u)が下に凸のとき、凸関数の定義から、0<t<1 をみたす実数tに対し、
(1-t)f(u)+tf(v)≧f((1-t)u+tv) …☆
(等号成立は、x=yのとき)
が成り立ちます。
(このことは、添付図に示したように、線分PQの中点Mがつねに曲線より上側に存在することでもわかると思います。)

ここで、1-t=x, t=y, u=a/x, v=b/y とすれば、
x(a/x)^3+y(b/y)^3≧{x・(a/x)+y・(b/y)}^3=(a+b)^3
と問題の式と同じになります。

(*)からは、関数f(x)=x^3の凸性を利用しています。...

質問した人からのコメント

2019/6/12 12:15:51

お二方ありがとうございました。
より適した回答だと思ったので、こちらのかたをベストアンサーとさせていただきます。
納得できました、ありがとうございます。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

hir********さん

2019/6/1023:52:53

その方法は、高校数学の知識外だろう


高校数学で、以下の方法で、分からないだろうか?


x+y=1より、(x+y)^2=1、だから、
F=a^3/x^2+b^3/y^2、と置くと、
F=(a^3/x^2+b^3/y^2)(x+y)^2=展開すると=
(a^3+b^3)+2(a^3*y/x+b^3*x/y)+(a^3*y^2/x^2+b^3*x^2/y^2)、になる。

ここで、y/x=m、とする。但し、m>0
この時、F=(a^3+b^3)+2(a^3*y/x+b^3*x/y)+(a^3*y^2/x^2+b^3*x^2/y^2)=(a^3+b^3)+2(a^3*m+b^3/m)+(a^3*m^2+b^3/m^2)、である。

ここで、f(m)=2(a^3*m+b^3/m)+(a^3*m^2+b^3/m^2)、
として微分すると、f´(m)=2(m+1)(a^3*m^3-b^3)/m^3、である。
m>0の条件で、増減表を書くと、m=b/aで最少になる。
よって、f(b/a)=3a^2*b+3a*b^2、だから
F=(a^3+b^3)+2(a^3*m+b^3/m)+(a^3*m^2+b^3/m^2)≧a^3+b^3+3a^2*b+3a*b^2、である。

つまり、F≧(a+b)^3、である。

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