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数学の問題です。数日かけて考えたのですが、どうしても分からなくて困ってます。...

aym********さん

2019/6/1919:09:40

数学の問題です。数日かけて考えたのですが、どうしても分からなくて困ってます。どなたか助けてくださいm(_ _)m

相加平均,相乗平均,不等式,数学,数日,b&gt,a&lt

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nek********さん

2019/6/1919:31:55

a=(1+(1/n))^(1/5)-1,
b=1-(1-(1/n))^(1/5),
c=1/(5n).
相加平均と相乗平均の不等式より、
{(1+(1/n))+1+1+1+1}/5>(1+(1/n))^(1/5).
したがって、a<c.
相加平均と相乗平均の不等式より、
{(1-(1/n))+1+1+1+1}/5>(1-(1/n))^(1/5).
したがって、b>c.

  • nek********さん

    2019/6/1919:52:42

    相加平均と相乗平均の不等式を使うという指定がなければ、ベルヌーイの不等式を使いました。
    -1≦xのとき、(1+x)^(1/n)≦1+(1/n)x.

    この不等式は因数分解の公式
    a^n-b^n=(a-b)Σ[k=0,n-1]a^kb^(n-k)
    を用いて示せます。

    x=-1のときは明らか。-1<xの場合を示す。
    1-(1+x)^(1/n)=-x/Σ[k=0,n-1](1+x)^(k/n)
    0<xのとき、(1+x)^(k/n)>1 (k=1,...)
    x<0のとき、(1+x)^(k/n)<1
    2≦nならば、いずれの場合も
    1-(1+x)^(1/n)
    =-x/Σ[k=0,n-1](1+x)^(k/n)<-x/n.
    よって、不等式
    (1+x)^(1/n)<1+(1/n)x.
    が成り立つ。x=0のとき、またはn=1のときは等式として成立する。

    ベルヌーイの不等式はy=(x+1)^αのグラフとx=0における接線のグラフの上下関係を表す不等式で、この問題と同じように相加平均と相乗平均の不等式から導くこともできます。
    https://dic.nicovideo.jp/a/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%...

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質問した人からのコメント

2019/6/19 20:11:39

なるほど!ようやく理解できました。本当にありがとうございます!!
また、別解も教えてくださりありがとうございます。しっかり勉強します。

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