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数学のこの問題の解法を教えていただきたいです。

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ID非公開さん

2019/6/2415:55:38

数学のこの問題の解法を教えていただきたいです。

xyzw,解法,正数x y z w,すなわち,イェンゼン,数学,左辺

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ベストアンサーに選ばれた回答

anoanop2さん

2019/6/2416:19:38

正数a,bに対して
(a-b)²=(a+b)²-4ab≧0 ⇔ (a+b)²≧4ab ⇔ a+b≧√4ab=2√ab
すなわち
(a+b)/2 ≧ √ab ...(☆)
が成りたちます
正数x,y,z,wに対して, (x+y)/2, (z+w)/2は正数であることに注意して,
(☆)において
a=(x+y)/2, b=(z+w)/2
とすれば,
(x+y+z+w)/4 ≧ √((x+y)/2)・((z+w)/2)
が得られ, この左辺においてもう一度(☆)を用いることによって,
(左辺)≧√(√xy√zw)=⁴√xyzw
を得ます。したがって, 主張は示されました □

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質問した人からのコメント

2019/7/1 12:06:40

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ran********さん

2019/6/2509:15:39

X=a^4などとおくと
(a^4+b^4+c^4+d^4)≧4abcdと同値。
(a^4+b^4)/2≧(ab)^2,(c^4+d^4)/2≧(cd)^2
∴a^4+b^4+c^4+d^4≧2(a^2b^2+c^2d^2)
2(a^2b^2+c^2d^2)≧4abcdを示せばよいから
2(a^2b^2+c^2d^2)-4abcd
=2(ab-cd)^2≧0として
a^4+b^4+c^4+d^4≧2(a^2b^2+c^2d^2)≧4abcd
終わり

mpi*******さん

2019/6/2417:05:58

f(x)=logxは凸関数なので
イェンゼンの不等式により
f(x/4+y/4+z/4+w/4)≥f(x)/4+f(y)/4+f(z)/4+f(w)/4
が成り立つ
すなわち
f((x+y+z+w)/4)≥(f(x)+f(y)+f(z)+f(w))/4
∴ log((x+y+z+w)/4)≥log(xyzw)/4
∴ log((x+y+z+w)/4)≥log(∜(xyzw))
∴ (x+y+z+w)/4≥∜(xyzw) ∎

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