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連続関数が有界閉区間上で可積分であることや、連続関数列の広義一様収束列の極限...

yyg********さん

2019/6/2700:28:21

連続関数が有界閉区間上で可積分であることや、連続関数列の広義一様収束列の極限関数が、連続であることは証明なしで用いてよい。

(1)fをR上のC^1級実数値関数とし、数列{a_n}を、

a_n=∫[0→2π]f(x)sin(nx)dxにより定義する。

このとき次を満たす定数Cが存在することを示せ。

|a_n|≤C/n n=1,2,...

(2)
{f_n(x)}をf_n(0)=0を満たすR上のC^1級実数値関数の列とする。f'_n(x)がg(x)にR上で講義一様収束するとき、f_n(x)は、∫[0→x]g(y)dyにR上で講義一様収束することを示せ。

(3)C>0は定数、実数列{a_k}は、
|a_k|≤C/k^3 k=1,2,...を満たすとする。このとき、R上の関数の列
f_n(x)=Σ[k=1→n]a_ksiin(kx) n=1,2,...はR上のC^1級関数に一様収束することを示せ。

(1)は、部分積分を用いて証明しましたが、いまいち自信がありません。
(2)が、与えられた条件をうまく用いることができずうまくいきません。
(3)は、WrierstrassのM判定法を用いることはわかりましたが、極限関数が、C^1級であることをうまく示せません。
ご回答の程よろしくお願いします。

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2019/6/2701:51:21

(1)
部分積分から、
a[n]=(-f(2π)+f(0)+∫[0→2π](f'(x)cos(nx))dx)/n
なので、三角不等式から、
|a[n]|<=C/n
ただし、
C=|f(2π)|+|f(0)|+∫[0→2π]|f'(x)|dx
と置けば良い。
fはR上のC^1級実数値関数なので、fの導関数f'は閉区間[0, 2π]上連続なので、
|f'(x)|は上に有界な(一様)連続関数となり、∫[0→2π]|f'(x)|dxはRIemann可積分であることに注意する。

(2)
K⊂Rを任意のコンパクト集合(=有界閉集合(Heine-Borelの定理から))とする。
すると、微積分学の基本定理より、
f[n](x)=∫[0→x]f[n]'(y)dyなので、

f[n](x)-∫[0→x]g(y)dy
=∫[0→x](f[n]'(y)-g(y))dy
となる。
すると、三角不等式から、
|∫[0→x](f[n]'(y)-g(y))dy|
<=∫[0→x]|f[n]'(y)-g(y)|dy
<=sup{y∈K| |f[n]'(y)-g(y)|}・∫[0→x]dy
=x・sup{y∈K| |f[n]'(y)-g(y)|}
f[n]'(x)がg(x)にR上で広義一様収束するので、
lim[n→∞]sup{y∈K| |f[n]'(y)-g(y)|}=0

ゆえに、
sup{x∈K||∫[0→x](f[n]'(y)-g(y))dy|}
<=μ(K)・sup{y∈K| |f[n]'(y)-g(y)|}
→0 (n→∞)
ただし、μ(K)はKの面積であり、Kは有界閉集合なので、μ(K)<∞であることに注意。
はさみうちの原理から、
lim[n→∞] sup{x∈K||∫[0→x](f[n]'(y)-g(y))dy|}=0
となる。

(3)
|a[k]sin(kx)|<=|a[k]|<=C/k^{3} (足されるxの関数がxに依存しないkの関数で上から押さえられていることがポイント)
であり、
Σ[k=1→n]C/k^{3}<∞である。
したがって、WeierstrassのM判定法から、
命題が従う。

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質問した人からのコメント

2019/6/30 20:00:47

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