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(x^2+x-1)/(x^3+x)の不定積分を計算してください

sor********さん

2019/7/400:48:47

(x^2+x-1)/(x^3+x)の不定積分を計算してください

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cha********さん

2019/7/401:13:21

sor********さん

部分分数分解して
(x^2 + x - 1)/(x^3 + x) = A/x + (Bx + C)/(x^2 + 1)
を再通分して A,B,C を決めます。
A(x^2 + 1) + (Bx + C)x = x^2 + x - 1
が恒等的に成り立つためには、
A = - 1、B = 2、C = 1 でなければならないので
(x^2 + x - 1)/(x^3 + x) = - 1/x + (2x + 1)/(x^2 + 1)
従って ∫(x^2 + x - 1)/(x^3 + x) dx
= - ∫ dx/x + ∫ (2x)/(x^2 + 1) dx + ∫ dx/(x^2 + 1)
= - log x + log (x^2 + 1) + arctan x + C
= log {(x^2 + 1)/x} + arctan x + C

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