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数学科の院試の過去問です。(2)がわかりません。よろしくおねがいします。線形代数...

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ID非公開さん

2019/7/401:20:55

数学科の院試の過去問です。(2)がわかりません。よろしくおねがいします。線形代数です。

線形代数,数学科,u3&gt,院試,最小多項式,線形空間,過去問

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E、A、A^2の右上の角は0だけど、A^3は1。
ということは、最小多項式は4次式でなければならない。
つまり、固有多項式そのもの。
これは、固有値があるならば、その広義固有空間が複数の直和に分解されないことを意味する。

例えば実数αが3重根だとすると

Au1=αu1、Au2=u1+αu2、Au3=u2+αu3 となるような底 <u1, u2, u3> が取れる場合は、この空間上で A-αE は3乗しなければ消えない。最小多項式でも3乗の因数ということ。固有空間は u1 で張られる。

Au1=αu1、Au2=αu2、Au3=u2+αu3 となるような底 <u1, u2, u3> が取れる場合は、この空間上で A-αE は2乗で消える。最小多項式では2乗の因数。この空間は2つのA-不変な線形空間の直和になっている。固有空間は u1 と u2 で張られる。

Au1=αu1、Au2=αu2、Au3=αu3 となるような底 <u1, u2, u3> が取れる場合は、この空間上で A-αE は O と同じ。最小多項式では1次。この空間は3つのA-不変な線形空間の直和になっていて、3次元の固有空間。

そういうわけで、固有値があるならその固有空間は1次元。

というのはどうでしょう。

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    質問者

    ID非公開さん

    2019/7/423:41:00

    最小多項式が固有多項式と同じになる所は理解出来ました!差し支えないこと聞きますが、A不変とはどういう意味でしょうか?調べたんですけど載ってるところ少なくて、わかりにくかったです。

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質問した人からのコメント

2019/7/9 01:43:57

丁寧にありがとうございました!なんとなくですが理解出来ました!

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roo********さん

2019/7/412:23:14

せめて固有多項式を提示するか固有値を提示しない?
じゃないとやらんでいいはずの(1)からやらんといけんくなるのではないか?

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