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A を 2 次正方行列,P を 2 次可逆行列とする.

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ID非公開さん

2019/7/1719:55:09

A を 2 次正方行列,P を 2 次可逆行列とする.

このと き,AとP^(-1)AP との固有値の組は同じであることを示せ.また, x が A の固有ベクトルならば,y := P^(-1)x は P^(-1)AP の固有ベ クトルであることを示せ.

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cli********さん

2019/7/1722:23:23

ID非公開さん

P^(-1)AP = B とおく. このとき
P^(-1)AP = B
⇔ AP = PB … 直上の式の両辺に左から P をかけて
⇔ A = PBP^(-1) … 直上の式の両辺に右から P^(-1) をかけて

(i)
λ が PBP^(-1) = A の固有値, x が PAP^(-1) = A の固有ベクトルのとき, 定義から
PBP^(-1)x = λx
両辺に左から P^(-1) をかけると
B(P^(-1)x) = λ(P^(-1)x)
したがって, λ は B の固有値, P^(-1)x は B の固有ベクトルである.

(ii)
μ が P^(-1)AP = B の固有値, y が P^(-1)AP = B の固有ベクトルのとき, 定義から
P^(-1)APy = μy
両辺に左から P をかけると
A(Py) = μ(Py)
したがって, μ は A の固有値, Py は A の固有ベクトルである.

以上から, つぎが成りたつ.
A の固有値 ⇔ P^(-1)AP の固有値

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