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数Ⅰについての質問です。

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ID非公開さん

2019/7/1906:08:26

数Ⅰについての質問です。

方程式x^2+(2-a)x+4-2a=0が-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつような定数aの値の範囲を求めよ。

この問題で、解の1つがx=-1のとき、解の1つがx=1のときを求めているのですが、なぜ-1<x<1の範囲外なのに求めているのでしょうか、、、

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hir********さん

2019/7/1908:33:07

この2次方程式が、x=±1の時、もう一つの解が、
-1<x<1にある可能性があるから。

x^2+(2-a)x+4-2a=0

実際に
・x=1の時 ‥‥ a=7/3になる。
この時、方程式は、(x-1)(3x+2)=0、となって、x=-2/3.
從って、題意を満たす。
・x=-1の時 ‥‥ a=3になる。
この時、方程式は、(x-2)(x+1)=0、となって、x=2.
從って、この場合は不適。



このように、変域の端に等号がない時は、注意が必要になる。

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質問した人からのコメント

2019/7/23 05:37:54

納得です!ずっと悩んでいたので助かりました。お二人方本当にありがとうございました!

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nij********さん

2019/7/1906:20:18

一方が、
x=-1、または、x=1
でも他方が、
-1<x<1にあるかどうか
を調べています。

f(x)
=x²+(2-a)x+4-2a
と置きますね。
f(x)
={x-((a-2)/2)}²-((a-2)/2)²+4-2a
={x-((a-2)/2)}²-((a-2)²/4)-2a+4
={x-((a-2)/2)}²-(1/4){(a-2)²+8a-16}
={x-((a-2)/2)}²-(1/4)(a²-4a+4+8a-16)
={x-((a-2)/2)}²-(1/4)(a²+4a-12)
={x-((a-2)/2)}²-(1/4)(a+6)(a-2)

x²の係数が正より下に凸の放物線。
軸の方程式は、x=(a-2)/2
頂点の座標は、((a-2)/2,-(1/4)(a+6)(a-2))

f(-1)
=1-(2-a)+4-2a
=1-2+a+4-2a
=-a+3
f(1)
=1+2-a+4-2a
=-3a+7

1) f(-1)=0(すなわち、a=3)のとき
-1<(a-2)/2<1
f((a-2)/2)<0
f(1)>0

2) f(1)=0(a=7/3)のとき
-1<(a-2)/2<1
f((a-2)/2)<0
f(-1)>0

3) f(-1)・f(1)<0のとき

4) f(-1)>0,f(1)>0のとき
-1<(a-2)/2<1
f((a-2)/2)≦0

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