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高3数学です

kaz********さん

2019/7/2000:09:23

高3数学です

C1:6x^2/x^2+9
C2:6-√(r^2-x^2)
ただしrは正の定数
この時、C1とC2は共有点で共通な接線を持つ。
この時の共有点の座標とrの値を求めよ

この問題ってどうやってといたらいいのでしょうか
色々試したのですがどれも計算が複雑になってしまい最終的には解けませんでした。

答えと解き方を教えてください

補足C1:x^2/(x^2+9)です。+9が分かりずらかったので補足です

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suz********さん

編集あり2019/7/2312:48:52

C1:y=6x²/(x²+9)=6-(2*3*9)/(x²+9)....①

C2:y=6-√(r²-x²)....②

まず、C1のグラフを考える。

y'=(4*3*9)x/(x²+9)².....③

x<0の時、y'<0、 x=0の時、y'=0, x>0の時、y'>0

x→±∞の時、y→6

これをもとにグラフを描く。

次に、C2のグラフを考える。

y-6=-√(r²-x²).......④

よって、2乗して、

x²+(y-6)²=r²

C2のグラフは、点(0,6)を中心に半径rの円の下半分で、

これをもとにグラフを描く。

------

さて、

C2の導関数は、

y'=x/√(r²-x²)

②より、(y-6)=-√(r²-x²)だから、

=-x/(y-6)......⑤

又、

C1の導関数③は、

y'=(4*3*9)x/(x²+9)²

①より、(y-6)/(2*3*9)=-1/(x²+9)だから、

=(4*3*9)x(y-6)²/(2*3*9)²=x(y-6)²/27....⑥

条件より、⑤=⑥より、

x(y-6)²/27=-x/(y-6)

整理すると、

x{(y-6)³+27}=0

よって、

x=0,(y-6)³+27=0より、y=3

(i)...x=0の時、

C1より、x=0の時、y=0

C2が点(0,0)を通るのは、②より、r=6の時。

(ii)...y=3の時、

C1より、3=6x²/(x²+9)より、x=±3

C2が点(±3,3)を通るのは、②より、r=3√2の時。

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質問した人からのコメント

2019/7/25 08:21:34

理解出来ました!
ありがとうございます!

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