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この問題の解答、解説を宜しくお願い致します。

ooi********さん

2019/7/2015:13:49

この問題の解答、解説を宜しくお願い致します。

解答,中点,OO',AO',sin∠BAC,解説,PO'

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ベストアンサーに選ばれた回答

ban********さん

2019/7/2415:31:58

問1
0°<∠BAC<180° だから 0<sin∠BAC
sin∠BAC=√(1-cos²∠BAC)=√63/64)=3√7/8

正弦定理から
BC/sin∠BAC=2×(4√14/7)
BC=(8√14/7)×(3√7/8)=3√2

AC=xとおくと、余弦定理から
(3√2)²=x²+2²-2・x・2・(1/8)
x²-(1/2)x-14=0
2x²-x-28=0
(2x+7)(x-4)=0
x>0 だから x=4

△ABCの面積
=(1/2)×AB×AC×sin∠BAC
=(1/2)×2×4×(3√7/8)
=3√7/2


問2
OO’とACの交点をMとすると、
AM=(1/2)AC (M:ACの中点)
OO’=2OM (M:OO’の中点)
OO’⊥AC

↑AB=↑b、↑AC=↑cとおくと、
|↑b|=2
|↑c|=4
↑b・↑c=2×4×(1/8)=1

↑AO=s↑b+t↑cとすると、
↑AM=(1/2)↑c
↑OM=↑AM-↑AO=-s↑b+(1/2-t)↑c

↑OM⊥↑AC だから
↑OM・↑AC
=-s↑b・↑c+(1/2-t)|↑c|²
=-s+8-16t=0
s+16t=8 …①

同様に、ABの中点をNとすると、
↑ON=↑AN-↑AO=(1/2-s)↑b-t↑c
↑ON・↑AB=4(1/2-s)-t=0
t=2-4s …②

①と②から (s, t)=(8/21, 10/21)
↑AO=(8/21)↑b+(10/21)↑c
↑OM=(1/2)↑c-{(8/21)↑b+(10/21)↑c}
↑OO’=2↑OM=↑c-(16/21)↑b-(20/21)↑c=-(16/21)↑b+(1/21)↑c
↑AO’=↑AO+↑OO’=-(8/21)↑b+(11/21)↑c

AP:PO’=u:(1-u)とおくと、
↑AP=(1-u)↑AB+u↑AO’={1-(29/21)u}↑b+(11/21)↑c

PはAC上の点であるから
1-(29/21)u=0 → u=21/29
BP:PO’=21/29:8/29=21:8

PO=PO’ だから
BP:PO=21:8


計算ミスがあったら m(_ _)m

質問した人からのコメント

2019/7/25 07:27:05

わかりやすい解説、解答をいただきまして、ありがとうございました。

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