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工学部のデザイン科を志望しています。 国公立教育大の入試過去問、途中式と解...

chi********さん

2019/7/2203:32:21

工学部のデザイン科を志望しています。

国公立教育大の入試過去問、途中式と解説、回答をお願いします。数Ⅱの内容で平面ベクトルの問題です。

m,n,を正の定数とし、AB=ACである二等辺三角形ABCの辺、AB,BC,CAをそれぞれm:n(m≠ん)に内分する点をD,E,Fとする。

→AE⊥→DFとなるとき、→AB⊥→ACであることを示せ。(改題)

という問題です。

あまり難しい問題ではないと思うのですが、解説をお願いします。


※公正を期すため、最初に解説と途中式、明快な解を書き込んだ回答者の方のみをBAとします。

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回答数:
2

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ベストアンサーに選ばれた回答

wil********さん

2019/7/2304:39:24

m:n(m≠ん)は、m:n(m≠n)の間違いですよね?
ベクトルAB=ベクトルb,ベクトルAC=ベクトルc と置き、以下、ベクトル記号を省略します。
m/(m+n)=t と置きます。
AD=tb
AF=(1-t)c
AE=(1-t)b+tc
DF=AF-AD=-tb+(1-t)c
AE・DF=-t(1-t)|b|²+t(1-t)|c|²+(1-t)²・b・c-t²・b・c
|b|=|c| だから、
=(1-2t)・b・c
AE・DF=0 で、m≠n だからt≠1/2
したがって、b・c=0
すなわち、AB⊥AC

質問した人からのコメント

2019/7/27 17:02:28

またよろしくお願いします。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

fel********さん

2019/7/2716:57:08

ボクは小学生でしゅが…

通りしゅがりの数学シャイエンシュカテの元カテマシュでしゅが…

→AB=→b、→AC=→cとしゅて

→AE⊥→DFでしゅから →AE・→DF=0

よって、 (n→b+m→c)・(-m→b+n→c)=0

よって、-mn|→b^2|-(m^2-n^2)→b・→c+mn|→c^2|=0

|→b|=|→c|より、(m^2-n^2)→b・→c=0

m>0、n>0, m≠nでしゅから →b・→c=0

よって →AB⊥→AC

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