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三角関数 倍角の公式など 添付画像の式変形がわかりません。 画像のsin2θからco...

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ID非公開さん

2019/7/2519:38:24

三角関数

倍角の公式など

添付画像の式変形がわかりません。

画像のsin2θからcos2θの求め方を教えてもらえないでしょうか?
自分のやり方だと、sin2θ^2+cos2θ^2=1を利用して、cos2θを求めようとしましたが、解に

プラスマイナスがでてきて2種類になります。
どのように1つに絞るのでょうか?自分のやり方だと解は2つでてきますが、何がまずいのでしょうか?

ご教授くださいませ

cos2,sin2,プラスマイナス,三角関数,倍角,tan,符号

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ベストアンサーに選ばれた回答

kji********さん

2019/7/2816:27:07

|cos(2θ)| = |1 - t^2|/(1 + t^2)

n を整数とすると、

cos(2θ) の符号については、
_______ 2θ = -π/2 + 2πn : cos(2θ) = 0
-π/2 + 2πn < 2θ < π/2 + 2πn : cos(2θ) > 0
_______ 2θ = π/2 + 2πn : cos(2θ) = 0
π/2 + 2πn < 2θ < 3π/2 + 2πn : cos(2θ) < 0
すなわち、
______ θ = -π/4 + πn : cos(2θ) = 0
-π/4 + πn < θ < π/4 + πn : cos(2θ) > 0
______ θ = π/4 + πn : cos(2θ) = 0
π/4 + πn < θ < 3π/4 + πn : cos(2θ) < 0

t = tanθ だから、
1 - t^2 の符号は |tanθ| < 1 か |tanθ| = 1 か |tanθ| > 1 かで決まるので、
1 - t^2 の符号については、
-π/4 + πn < θ < π/4 + πn : tanθ < 1 より、1 - t^2 > 0
______ θ = π/4 + πn : tanθ = 1 より、1 - t^2 = 0
π/4 + πn < θ < 2π/4 + πn : tanθ > 1 より、1 - t^2 < 0
______ θ = 2π/4 + πn : 不定
2π/4 + πn < θ < 3π/4 + πn : tanθ < -1 より、1 - t^2 < 0

各々の場合について、2つの符号を比較すると、
-π/4 + πn < θ < π/4 + πn : どちらも正
______ θ = π/4 + πn : どちらも0
π/4 + πn < θ < 2π/4 + πn : どちらも負
______ θ = 2π/4 + πn : θがこうなることはあり得ないから無視。
2π/4 + πn < θ < 3π/4 + πn : どちらも負
となりますから、
cos(2θ) = (1 - t^2)/(1 + t^2)
で、統一できるわけです。


なお、θ = 2π/4 + πn の場合、
cos(2θ) は 0 になるのに t で表せないのはいいのか?
と疑問に思うかもしれませんが、
そもそも、tanθ を使って表すと決めた時点で、
θ = 2π/4 + πn の場合が網羅されなくなっている、
つまり、θ = 2π/4 + πn の場合が網羅できないような決め方なのです。

逆に言うと、
置換積分等で、tanθを使った式に置き換えた場合、
θ = 2π/4 + πn の場合が網羅できていないことを考慮しないといけません。
tanθを使った式に置き換えたのに θ = 2π/4 + πn を跨って定積分したり
してはならないわけです。

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    質問者

    ID非公開さん

    2019/7/2818:19:45

    回答ありがとうございます。

    各々の場合について、2つの符号を比較すると、同符号で統一できる点理解できました。ありがとうございました!

    追加で2つ質問いいですか?
    <質問1>
    絶対値の計算ですが、
    cos(2θ)^2 = (1-t^2)^2 / (1+t^2)^2 は、
    cos2θ=|1 - t^2|/(1 + t^2)ではいけないのですか?
    以下が正しいのですか?
    |cos(2θ)| = |1 - t^2|/(1 + t^2)

    <質問2>
    >なお、θ = 2π/4 + πn の場合、
    >cos(2θ) は 0 になるのに t で表せないのはいいのか?

    θ=2π/4 すなわちθ=π/2のとき、cos(2θ) は 0 とありました、
    0になるのはθ=π/4ではないんですか?

    以上お願いします。

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2019/7/30 23:24:44

ありがとうございました

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ufc********さん

2019/7/2520:27:16

tの範囲を場合分けして考えればわかると思います.

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bal********さん

2019/7/2519:47:46

sin2θからcos2θを求めているのではありません。
「同様にして」とあるのでsin2θをtで表した流れをcos2θでも行うということです。
cos2θ=cos2θ/1=(cos^2θ-sin^2θ)/(sin^2θ+cos^2θ)
分子分母をcos^2θで割ると
(1-tan^2θ)/(tan^2θ+1)
=(1-t^2)/(t^2+1)
となります。

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