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次の関数f(x) (xは実数)が確率密度関数であるとする。ただしkは正の実数である。

ego********さん

2019/8/1014:00:03

次の関数f(x) (xは実数)が確率密度関数であるとする。ただしkは正の実数である。

f(x)=0, (x<ーk/3)
3x+k , (ーk/3≦x≦0)
ー3/2+k , (0≦x≦2/3k)
0, (2k/3<x)

(1)kの値を求めよ。
以下、kに(1)で得た値を用いて答えよ。
(2)f(x)のグラフを描け。
(3)P(ーk/6 ≦X≦k/3)を求めよ。
(4)期待値と分散を求めよ。

この問題が分かりません。解答お願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

tra********さん

2019/8/1115:03:20

[ego********さん]への回答

書かれた式に間違いがあると思われます。訂正して、回答します。
f(x)=0, (x<ーk/3)
f(x)=3x+k , (ーk/3≦x≦0)
f(x)=(ー3x/2)+k , (0≦x≦(2/3)k)
f(x)=0, (2k/3<x)

(1)kの値を求めよ。
確率密度関数であるから、∫[-∞~∞]f(x)dx=1
∫[ーk/3~0]{3x+k}dx+∫[0~(2/3)k]{(ー3x/2)+k}dx=1
(1/6)k^2+(1/3)k^2=1
k=√2 (k>0より).....答え

f(x)=0, (x<ー√2/3)
f(x)=3x+√2 , (ー√2/3≦x≦0)
f(x)=(ー3x/2)+√2 , (0≦x≦(2/3)√2)
f(x)=0, {(2√2)/3<x}
のグラフを描けばよい。割愛

(3)P(ー√2/6 ≦X≦√2/3)を求めよ。
P=∫[ー√2/6 ~√2/3]f(x)dx
=∫[ー√2/6 ~0](3x+√2)dx+∫[0 ~√2/3]{(ー3x/2)+√2}dx
=3/4......答え

(4)期待値と分散を求めよ。
期待値:E(x)=∫[-∞~∞]xf(x)dx
=∫[ー√2 /3~0]x(3x+√2)dx+∫[0~(2/3)√2 ]x{(ー3x/2)+√2}dx
=[ー√2 /3~0]{x^3+(1/2)√2x^2}
+[0~(2/3)√2 ]{-(1/2)x^3+(1/2)√2x^2}
=(1/9)√2

E(x^2)=∫[-∞~∞]x^2f(x)dx
=∫[ー√2 /3~0]x^2(3x+√2)dx+∫[0~(2/3)√2 ]x^2{(ー3x/2)+√2}dx
=[ー√2 /3~0]{(3/4)x^4+(1/3)√2x^3}
+[0~(2/3)√2 ]{-(3/8)x^4+(1/3)√2x^3}
=1/9

分散:V(x)=E(x^2)-E(x)^2=(1/9)-2/81=7/81

............................
分散の式

確率密度関数をf(x)
E(x)=∫[-∞~∞]xf(x)dx=m と置く
V(x)=∫[-∞~∞](x-m)^2f(x)dx
=∫[-∞~∞](x^2-2mx+m^2)f(x)dx
=∫[-∞~∞]x^2f(x)dx-2m∫[-∞~∞]xf(x)dx+m^2∫[-∞~∞]f(x)dx
=∫[-∞~∞]x^2f(x)dx -2m^2 +m^2
=∫[-∞~∞]x^2f(x)dx -m^2=E(x^2)-E(x)^2

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