ここから本文です

位相空間を理解しようとするのは諦めたほうがいいですか?

come againさん

2019/9/1514:06:50

位相空間を理解しようとするのは諦めたほうがいいですか?

補足とりあえず、距離空間の定義だけは覚えました。

閲覧数:
77
回答数:
3

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

fuz********さん

2019/9/1600:32:26

理解したい深さにもよりますが、
位相が理解できない原因は大体教材側にあると思います。
(もし最初にWikipediaを見たなら、挫折するのも無理はないでしょう)

以下、質問者様が位相初心者の想定で書きます。

まず、位相の目的と手段は分離して考えるべきです。
定義は位相を構成する手段であり、位相を考える目的ではありません。そして位相の目的は単純です。

位相とは「近さ」を数学的に規定する為の道具です。

位相の全容はあまりにも膨大なので、
基本を押さえたら目的別に調べた方がいいでしょう。

以下に位相の目的、構成手法、比較手法、応用ジャンルについての私見を記しましたので、参考までにどうぞ。(ほとんど独断偏見ですが)

------------
位相の目的
▪️数学は自然を好む
数学の概念を、自然な概念と人工的な概念に分けてみます。
自然な概念とは、既知の概念を組合せて定義される概念です(例:掛け算は足し算の繰り返し)。
対して、人工的な概念とは新たな概念を登場させて定義される概念です(例:ベクトルは大きさ(=数)に方向を加えた量だよ(方向が数学的に規定されていない。この場合、数の組をベクトルと定義すれば既存概念のみで説明が付く))。
数学は、より自然な概念規定を良しとします。

▪️「近さ」は人工的な概念
普通に点同士の近さを考える場合、点同士の離れ具合だけで近さを規定するわけにはいきません。
例えば2駅の近さの場合、移動経路を電車に限れば、後楽園-春日駅の様に(関東圏限定の例ですみません)歩けば数分の駅でも、電車で大周りさせられて10分以上掛かる場合があります。
つまり、近さとは本来、具体的な状況を考慮して定まる人工的な概念です。

▪️自然な近さを目指して
しかし、その具体的な状況を「空間の性質」と見なせば、近さを自然な概念に変換する事ができます(屁理屈のようですが)。
その為の道具が「位相」です。
位相は具体的な状況設定によって生じる移動経路の差などを、空間の部分集合族に変換するアルゴリズムを提供しています。
この事は、ある面で「場」と似ています。
例えば、電荷同士の力の及ぼし合いを、空間が電荷に及ぼす力と考えたものが電場です。つまり、力を及ぼす要因を「空間」という言葉の中に隠蔽し、空間の性質と見なして研究するのが場の理論です。
同様に、位相空間論では2点の近さが空間によって規定されていると見なし、位相空間の性質を研究します。

--------------
位相の構成
▪️近傍系による位相の定義
位相のアイデアは案外単純です。
❶近さを規定するには、各点の近辺を覆う集合を決めればいいでしょう。これを「近傍」と呼びます。
近さにも度合いがあるので、ひとつの点xに複数の近傍を定めます。xの近傍の総体をxの近傍系と呼びます。
❷近傍同士の共通部分や和集合は近傍であると定めます。
近いもの同士の共通部分が近傍となるのに異論はないでしょう。和集合が近傍となるのは、「髪の毛何本からハゲか」みたいな不毛な境界論争を避ける為です。そもそも近辺を規定したいのだから、広過ぎるものが近傍か否かなどどちらでもいい話です。
❸各点の近傍系全体を位相と呼びます。位相を定めた空間を位相空間と呼びます。
❹実際に位相を定める流れはこんな感じです。
まず、具体的な状況を想定しつつそれを再現するような近傍を各点にいくつか指定します。すると、❷のルールで近傍系が膨れ上がります。すると、ちゃんと機能する近傍系になります。
つまり、基本的な近傍を定める所までは頑張ってやってくれという事ですが、距離が定まっていれば簡単に近傍系が定まるので心配は要りません。
❺細かい事を言うと、xの近傍は点xを覆っている必要があります。つまり、xが近傍と外部の境界にあるとか、1点だけの近傍とか、そういうものは近傍とは呼びません。
そして、無限に共通部分を取るとあらゆる形の集合が作れてしまうので、近傍の無限の共通部分は近傍とは見なしません。(これは技術的には一番重要な点ですが、初心者の興味ある話題では無いと思います)

▪️開集合による位相の定義
古典的な位相の定義は近傍系を使ったものです。論理的に同値な概念を定める複数の方法があり、それらの同値な概念はすべて位相と呼ばれます。
現在最も一般的な位相の定義は、恐らく開集合によるものです。理由は、慣れれば簡潔だからでしょう。
開集合による位相の定義も、まず基本的な開集合を定め、「共通部分と和集合は開集合になる」というルールで足りない分を埋めたものを「位相」と呼んでいます。

--------------
位相の比較
▪️連続写像
位相は様々な位相的概念を規定する為の土台です。例えば連続写像は、「写した先で近傍なら写す前も近傍」という条件を満たす写像です。
2つの位相空間の間に連続写像が構成できれば、「近いものは写した後も近く、バラバラだったものがまとまる事は無い」のですから、同じような位相を持った空間という事になります。
連続写像は位相空間を調べたり分類する為の道具になります。

▪️分離性による位相の分類
連続写像によって位相の比較ができますが、位相には表現の分解能というか、「粗さ」があります。粗さの度合いで空間の振る舞いがかなり異なるので、「分離公理」という枠組みで粗さのレベル階層を分けています。学校なんかで最も詳しくやるのは、真ん中くらいの粗さの「ハウスドルフ空間」です。

-------------
▪️位相の応用
数学は、集合に様々な構造を付加する事で数学的対象を表現します。
位相空間は集合に位相という構造を付加したものです。普通は、位相空間に更に構造を付加して、より豊かな数学的対象を表現します。
例えば、多様体、位相群、基点付空間など。組み紐とか図形の分類とかリーマン面とかは、こうした発展的話題だったりします。

-------------
▪️余談:位相の語義
位相は英語でtopologyです。これは配置を表すtoposと学問を表す-logyを合わせた造語です。つまり配置の学問を意味します。
それが位相と訳されるのは、位置の相を調べる学問という含意があるのでしょう。
波の周期の中での位置を表す位相は英語でphaseであり、全くの別物です。

質問した人からのコメント

2019/9/19 22:27:29

回答ありがとうございます!

ベストアンサー以外の回答

1〜2件/2件中

並び替え:回答日時の
新しい順
|古い順

mathmathtorさん

2019/9/1516:44:34

位相空間は、何故こんな定義なんだ。
と考え過ぎないことが大事たと思う。
定義を素直に受け入れて、慣れること、是が一番だろう。

定義自体は難しくない、抽象的なだけだから、慣れるしかない。

dap********さん

2019/9/1514:34:15

それはあなた次第でしょう。
大学生レベルの範疇です。

返信を取り消しますが
よろしいですか?

  • 取り消す
  • キャンセル

あわせて知りたい

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる