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この問題がわかりません。解き方を教えて下さい。

sou********さん

2019/9/1801:19:56

この問題がわかりません。解き方を教えて下さい。

a>0とする。曲線y=2cosx(0≦x≦π/2)とx軸,y軸で囲まれた部分の面積を、曲線y=asinxが2等分するように定数aの値を定めよ。

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oja********さん

2019/9/1802:07:51

まずy=2cosxの囲む面積を出しておくと
∫(0≦x≦π/2)2cosxdx=[2sinx](0≦x≦π/2)=2

これをy=asinxが2等分するので
y=2cosxとy=asinxの囲む面積が1になればよい。
2つのグラフの交点のx座標をx=αとすると
∫(0≦x≦α)(2cosx-asinx)dx=[2sinx+acosx](0≦x≦α)
=2sinα+acosα-a
これが=1になればよいから
2sinα+acosα-a=1

ここでαは
2cosα=asinαを満たす数である。
tanα=2/a
sinα=2/√(a^2+4)
cosα=a/√(a^2+4)
これを上の式に代入して整理すると
√(a^2+4)-a=1
√(a^2+4)=a+1
両辺2乗して
a^2+4=a^2+2a+1
2a=3
a=3/2

質問した人からのコメント

2019/9/18 02:58:37

ありがとうございました!

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chi********さん

2019/9/1801:47:35

2曲線の0<=x<=π/2における交点をαとすると
0<=x<=αにおいてこの2曲線とy軸とで囲まれた部分の面積が
y=2cosx(0<=x<=π/2)とx軸,y軸で囲まれた部分の面積の半分になれば良い

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