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以下の等式を証明して下さい。自分は歯が立ちませんでした。

nza********さん

2019/10/1620:45:34

以下の等式を証明して下さい。自分は歯が立ちませんでした。

等式,a-b,sin,RES,cos,歯,以下

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2019/10/1622:27:12

つぎの定理を使う。

Mを定数として、有理関数f(z)が
(1) |z|≧Rのとき、|f(z)|≦M/R² (2) f(z)の極は整数ではない
を満たすとき、aをすべてのf(z)の極とすると

Σ[n=-∞,∞]f(n)=-Σ[a] Res(f(z)π/tan(πz), a)
となる。

今、a≠b, a,b≠整数、として f(z)=1/{(z+a)(z+b)} である。
極は z=-a,-bだから

A=Σ[n=-∞,∞]f(n)=Σ[n=-∞,∞]1/{(n+a)(n+b)}

Res(f(z)π/tan(πz), -a)=(π/(-a+b))cos(-πa)/sin(-πa)
=(π/(a-b))cos(πa)/sin(πa)
Res(f(z)π/tan(πz), -b)=(π/(-b+a))cos(-πb)/sin(-πb)
=-(π/(a-b))cos(πb)/sin(πb)

したがって
B=Σ[a] Res(f(z)π/tan(πz), a)
=(π/(a-b)){cos(πa)/sin(πa)-cos(πb)/sin(πb)}
=-(π/(a-b)) sin(π(a-b))/{sin(πa)sin(πb)}

A=Bだから結論を得る。

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ベストアンサー以外の回答

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tab********さん

2019/10/1621:06:45

aの関数とみたときに両辺はaの解析関数である。そこで、aの極の位置と留数が一致していることを示せばよいが、左辺から a=-n に極があることがわかって、実際、その点で、右辺も極になっており留数も一致している。

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