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線形代数の問題について。 下の画像の(3)の解き方が分かりません。分かる方は解...

t2o********さん

2019/12/1200:26:39

線形代数の問題について。

下の画像の(3)の解き方が分かりません。分かる方は解説をよろしくお願いします。

線形代数,解き方,正規直交基底,解説,j&lt,問題,SX

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ベストアンサーに選ばれた回答

kkaogueさん

2019/12/1209:57:35

a[1],…,a[n]はR^nの正規直交基底より
x=((x^T)a[1])a[1]+…+((x^T)a[n])a[n]
(ただし((x^T)a[1])^2+…+((x^T)a[n])^2=1)
とかける。
今j<iに対して(x^T)a[i]=0より
x=((x^T)a[i])a[i]+…+((x^T)a[n])a[n]
(ただし((x^T)a[i])^2+…+((x^T)a[n])^2=1)
よって
Sx=((x^T)a[i])Sa[i]+…+((x^T)a[n])Sa[n]
=((x^T)a[i])λ[i]a[i]+…+((x^T)a[n])λ[n]a[n]
ゆえに
||Sx||^2
=||((x^T)a[i])λ[i]a[i]+…+((x^T)a[n])λ[n]a[n]||^2
={((x^T)a[i])λ[i]}^2+…+{((x^T)a[n])λ[n]}^2
=λ[i]^2{((x^T)a[i])^2+…+((x^T)a[n])^2} - (λ[i]^2-λ[i+1]^2)((x^T)a[i+1])}^2+…+(λ[i]^2-λ[n]^2)((x^T)a[n])}^2
=λ[i]^2 - {(λ[i]^2-λ[i+1]^2)((x^T)a[i])^2+…+(λ[i]^2-λ[n]^2)((x^T)a[n])^2}
≤λ[i]^2 (∵λ[i]^2-λ[i+1]^2>0)
よって
||Sx||≤λ[i]

見にくいところ等ありましたら返信でお聞きください
正規直交基底であることは必要でしたら別途証明してください。

質問した人からのコメント

2019/12/12 12:24:33

ありがとうございます。とても分かり易かったです。

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