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関数y=−√3 sinθ+cosθの最大値と最小値を求めよ

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ID非公開さん

2020/5/2313:46:17

関数y=−√3 sinθ+cosθの最大値と最小値を求めよ

この問題の解き方を教えてください!

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ベストアンサーに選ばれた回答

got********さん

2020/5/2314:04:32

y=−√3 sinθ+cosθ

sinθの係数ー√3とcosθの係数1を見て、
1:2:√3に関係があるな、と判断します。
ー√3/2と1/2が出てくるように、2で割って2を掛けます。

−√3 sinθ+cosθ
=2{(ー√3/2)sinθ+(1/2)cosθ}
=2{sinθ(ー√3/2)+cosθ(1/2)}

ここで、cosα=ー√3/2, sinα=1/2 であるようなαを調べます。
α=5π/6 です。
cos(5π/6)=ー√3/2、sin(5π/6)=1/2 ですから

=2{sinθcos(5π/6)+cosθsin(5π/6)}

となります。
このような式変形をしたのは、
これにより加法定理が利用できるようになるからです。

=2sin(θ+(5π/6))

となります。
θの範囲が 0≦θ<2π なら、それぞれに5π/6を加えることにより
0+5π/6≦θ+5π/6<2π+5π/6 より
5π/6≦θ+5π/6<17π/6
となります。

もとの問題は
y=2sin(θ+(5π/6))
(5π/6≦θ+5π/6<17π/6)
の最大値・最小値を求めよ、という問題に置き換わりました。

さらに、θ’ = θ+5π/6 とおくことで
y=2sinθ’
(5π/6≦θ'<17π/6)
の最大値・最小値を求めよ、
という問題に置き換わったと考えることもできます。

ー√3sinθ+cosθの最大値は、2sinθ’の最大値です。
範囲 5π/6≦θ’<17π/6 の幅は2πなので
sinθ’の最大値は1です。
したがって、 ー√3 sinθ+cosθの最大値はその2倍の2です。
それはsinθ’ =1 のとき、
すなわち 5π/6≦θ’<17π/6において
θ’ に対応する単位円上の点が(0, 1)になるときで
θ'=5π/2のときです。
したがって、θ+5π/6=5π/2より θ=5π/3 のときです。

ー√3sinθ+cosθの最小値は、2sinθ’の最小値です。
範囲 5π/6≦θ’<17π/6 の幅は2πなので
sinθ’の最小値はー1です。
したがって、 ー√3 sinθ+cosθの最小値はその2倍のー2です。
それはsinθ’ =ー1 のとき、
すなわち 5π/6≦θ’<17π/6において
θ’ に対応する単位円上の点が(0, ー1)になるときで
θ'=3π/2のときです。
したがって、θ+5π/6=3π/2より θ=2π/3 のときです。

最大値2 (θ=5π/3)
最小値ー2 (θ=2π/3)

です。

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質問した人からのコメント

2020/5/23 15:19:33

ご丁寧に本当にありがとうございます(˘• ω• ˘)
とで分かりやすかったですm(_ _)m

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

zuz********さん

2020/5/2313:50:49

三角関数の合成 をしてみましょう。

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