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f(u)を実数全体で定義されたC1関数として、位置ベクトルが p(u,v)=(ucosv,f(u),...

b07********さん

2020/6/520:51:55

f(u)を実数全体で定義されたC1関数として、位置ベクトルが
p(u,v)=(ucosv,f(u),usinv) と表示される曲面を考える。ただしu≧0を動く。

(1)x=ucosv, y=f(u), z=usinv と置いたとき曲面はx,y,zのどのような関係式で表されるか。
(2)第一基本量E、F、Gを求めよ。
(3)面素dSを求めよ。
(4)f(u)=u²とする。u,vが0≦u≦1、0≦v≦πをくまなく動くとき
p(u,v)が動いてできる曲面の曲面積を求めよ。

上記の問題の(4)の計算で詰まりました。教えていただきたいです。

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ベルさん

2020/6/521:10:04

(1), (2) は回答しましたね(*^^*)

y = f(√(x² + z²)) の書き間違いでしたm(_ _)m

(3)
面素ベクトル dS↑ は

dS↑ = {(∂p/∂u)×(∂p/∂v)}dudv

= (uf'(u)cosv, -u, -uf'(u)sinv)dudv であり

面素 dS = |dS↑| = u√[1+{f'(u)}²]dudv

(4)
f(u) = u² ならば dS = u√(1+4u²)dudv なので

∬[D]dS

= ∫[0→π]dv∫[0→1]u√(1+4u²)du

= [v][0→π]・[(u/12)√(1+4u²)][0→1]

= π√5/12 ですね(*◕ ◡◕)✿♫♬

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