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二次関数y=ax^2+bx+cのグラフは2点(2,1),(-1,3)を通る。このときab+bc+caのとりうる値の最大値を求めよ。 解説をお願いします。

二次関数y=ax^2+bx+cのグラフは2点(2,1),(-1,3)を通る。このときab+bc+caのとりうる値の最大値を求めよ。 解説をお願いします。

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回答(2件)

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y=ax^2+bx+cのグラフは2点(2,1),(-1,3)を通るので 1=4a+2b+c 3=a-b+c よって b=(-3a-2)/3, c=(-6a+7)/3 よって ab+bc+ca=-a^2+(2/3)a-(14/9) =-(a-(1/3))^2-13/9 よって ab+bc+caのとりうる値の最大値は-13/9

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2 点 (2,1),(-1,3) を通ることから 1=4a+2b+c … ① 3=a-b+c … ② ① - ②より -2=3a+3b b=-a-2/3 これを①に代入して c について解くと c=1-4a-2b =1-4a+2a+4/3 =-2a+7/3 これらを用いると ab+bc+ca =a(-a-2/3)+(-a-2/3)(-2a+7/3)+(-2a+7/3)a =-a²-(2/3)a+2a²-a-14/9-2a²+(7/3)a =-a²+(2/3)a-14/9 =-(a-1/3)²-13/9 より、求める最大値は -13/9 (a=1/3、b=-1、c=5/3のとき)