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2020/9/15 10:06

33回答

ベクトルの質問です。

ベクトルの質問です。 解答がなくて困っております。数学が得意な方、解説よろしくお願いします。(1)から

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数学 | 高校数学60閲覧xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">25

ベストアンサー

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ベクトルの矢印は省略 (1) AZ=(1/3){(1+r)AB+(1+p)AD+(1+q)AE} (2) (AZ)(PQ)=(1/3)(q^2-p^2+q-r) (AZ)(PR)=(1/3)(r^2-p^2+q-p) (3) 垂直条件より q^2-p^2+q-r=0…① r^2-p^2+q-p=0…② ①よりr=q^2-p^2+qを②に代入して整理して p^4-(2q^2+2q+1)p^2-p+q(q^3+2q^2+q+1)=0 (p-q)(p^3+qp^2-(q+1)^2p-q(q+1)^2-1)=0 ここで p^3+qp^2-(q+1)^2p-q(q+1)^2-1が0にならないことを示す。 p^3+qp^2-(q+1)^2p-q(q+1)^2-1=(p+q)(p^2-(q+1)^2)-1 =(p+q)(p+q+1)(p-q-1)-1<0(理由:0<p<1,0<q<1だから) よってp^3+qp^2-(q+1)^2p-q(q+1)^2-1が0にならない。 よって p-q=0 よって、p=q このとき①よりq=r よって、 p=q=r 逆にp=q=rのとき①②が成り立ち直線AZは平面PQRに垂直になる。

その他の回答(2件)

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(3)の十分条件がツライですね。 (1) 立方体なので、平行な位置にあるベクトルは等しいから、 BC↑=AD↑ DH↑=AE↑ EF↑=AB↑ です。 AP↑=AB↑+pBC↑=AB↑+pAD↑ AQ↑=AD↑+qDH↑=AD↑+qAE↑ AR↑=AE↑+rEF↑=AE↑+rAB↑ よって、Zは⊿PQRの重心だから、 AZ↑ =(AP↑+AQ↑+AR↑)/3 ={(1+r)/3}AB↑+{(1+p)/3}AD↑+{(1+q)/3}AE↑ (2) 立方体なので、AB↑、AD↑、AE↑は互いに直交する。 つまり、 AB↑・AD↑=0 AD↑・AE↑=0 AE↑・AB↑=0 また、 PQ↑=AQ↑-AP↑=-AB↑+(1-p)AD↑+qAE↑ PR↑=AR↑-AP↑=(r-1)AB↑-pAD↑+AE↑ さらに正方形の一辺の長さが1なので、 |AB↑|=|AD↑|=|AE↑|=1 以上より、 AZ↑・PQ↑ =-{(1+r)/3}|AB↑|^2+{(1+p)(1-p)/3}|AD↑|^2+{q(1+q)/3}|AE↑|^2 =-(1+r)/3+(1-p^2)/3+(q+q^2)/3 =(q+q^2-p^2-r)/3 ※2行目の部分は、AB↑・AD↑=0等、違うベクトルの項は全部0になるので、 AB↑、AD↑、AE↑の係数だけ見ればOK 同様にして、 AZ↑・PR↑ =-{(1+r)(r-1)/3}|AB↑|^2-{p(1+p)/3}|AD↑|^2+{(1+q)/3}|AE↑|^2 =-(r^2-1)/3-(p+p^2)/3+(1+q)/3 =(r^2+q-p-p^2)/3 (3) 直線AZが平面PQRに垂直とは、(2)で計算した、 AZ↑・PQ↑、AZ↑・PR↑が0であることと同値なので、 AZ↑・PQ↑=AZ↑・PR↑=0⇔p=q=r=0 を示せばよい。 (i)⇒を示す。 AZ↑・PQ↑=AZ↑・PR↑=0のとき、(2)から、 q+q^2-p^2-r=0…① r^2+q-p-p^2=0…② である。 ①より、r=q+q^2-p^2なので②に叩き込んで (q+q^2-p^2)^2+q-p-p^2=0 これを気合で展開してqで整理すると、 q^4+2q^3+(1-2p^2)q^2+(1-2p^2)q+p^4-p^2-p=0…③ ここでq=pとすると③が成り立つ、つまり (q-p)を因数に持つことがわかるので、割り算してやって (q-p){q^3+(2+p)q^2+(1+2p-p^2)q+1+p-p^3}=0…④ 後ろの部分をqの関数と見て、 f(q)=q^3+(2+p)q^2+(1+2p-p^2)q+1+p-p^3 f'(q)=3q^2+2(2+p)q+1+2p-p^2 f'(q)の判別式をDとすると、 D/4 =(2+p)^2-3(1+2p-p^2) =(p^2+4p+4)-(3+6p-3p^2) =4p^2-2p+1 =4(p-1/4)^2+3/4>0 よって、f(q)は単調増加。 また、0<p<1であることにより、 f(0)=1+p-p^3=1+p(1-p^2)>0 であるので、f(q)は0<q<1において解を持たない。 以上の事から、④の解はq=pのみである。 これを①に叩き込むと、r=qがわかるので、 p=q=rが成立する。 (ii)⇐を示す。 p=q=rのとき、 q+q^2-p^2-r=0 r^2+q-p-p^2=0 の成立は明らか。 以上より、 AZ↑・PQ↑=AZ↑・PR↑=0⇔p=q=r=0 が成立です。

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(1)AP=pAB+(1-p)AC=pAB+(1-p)(AB+AD)=AB+(1-p)AD AQ=qAD+(1-q)AH=qAD+(1-q)(AD+AE)=AD+(1-q)AE AR=rAE+(1-r)AF=rAE+(1-r)(AB+AE)=AE+(1-r)AB AZ=(AP+AQ+AR)/3=[(2-r)AB+(2-p)AD+(2-q)AE]/3 (2)は写真 (3)は内積=0を使って計算

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質問者

2020/9/15 13:37

(3)の十分条件は示せますが必要条件の証明ができなくて困ってます ♂️