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f(x)=∮0〜x(3t^2-4t+1)dtを xで微分するとf(x)=3t^2-4t+1になるのが理解できません。どなたか教えていただけないでしょうか

f(x)=∮0〜x(3t^2-4t+1)dtを xで微分するとf(x)=3t^2-4t+1になるのが理解できません。どなたか教えていただけないでしょうか

数学 | 高校数学6閲覧

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回答(2件)

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f(x)=∫[0〜x]g(t)dt=[G(t)][0〜x]=G(x)-G(0) ∴f'(x)=(G(x)-G(0))'=g(x)-0=g(x) 一般には f(x)=∫[a(x)〜b(x)]g(t)dt =[G(t) ][a(x)〜b(x)] =G(a(x))-G(b(x)) ∴f'(x)=(G(a(x))-G(b(x)))' =a'(x)g(a(x))-b'(x)g(b(x))

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f(x)=∫[0〜x](3t²ー4t+1)dt・・・①を xで微分すると f(x)=3t²ー4t+1,(?x)・・・・➁になるのが理解できません。 どなたか教えていただけないでしょうか 。 「回答」 まず,「∲」という記号は高校数学では使いません。「∫」とは別の意味になります。 また,ご質問のことはお手元のテキストのどこかにはある事柄だと思います。 では,手堅く計算をしてみます。 ➀より,f(x)=[0~x](t³ー2t²+t)=x³-2x²+x・・・③ ③式の両辺をxについて微分すると f’(x)=3x²-4x+1・・・・④ですので➁式は違うのではないですか。 では一般的に答えます。 ➀,f(x)=∫[0〜x](3t²ー4t+1)dt,において 被積分関数をg(t)=(3t²ー4t+1)・・・・・・⑤ とおき, 【g(t)の原始関数の一つをG(t)とおく】(#), すると➀は, f(x)=[0~x]G(t),であり定積分を実行すると f(x)=G(x)ーG(0), 上式をxについて微分すると f’(x)=G’(x).........(∵G(0)は定数なので微分すると消える) (#)としていたのだから f’(x)=g(x)=3x²-4x+1,である。 変数がtからxに入れ替わっていますが, もともと➀式は【xについての関数】だったのです。