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2020/9/20 0:54

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数学の定理、公理、定義、仮定、命題、証明、公式。これらをつなげてください。別々のものですが、いざ考えるときよくわからなくなります。

数学の定理、公理、定義、仮定、命題、証明、公式。これらをつなげてください。別々のものですが、いざ考えるときよくわからなくなります。 回答でこの例えを使って欲しくありませんが例えば等差数列であれば定義は等差数列というもの自体の意味。では公式は??証明は。。。となります。一つのものを例にして全てをつなげてみてください。高校1年なのですが出来るだけわかりやすくお願いいたします。コイン500枚です。

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話題に入る前に、それぞれの言葉の意味を復習しておきましょう。 定義:概念の名前をつけること。 命題:真であるか、偽であるかが判断できる文章のこと。 仮定:「PならばQ」という形の命題の、Pの部分のこと。 公理:命題のうち、真であることを条件なしに認めるもの。 定理:真であることがわかっている命題のうち、有用なもの。(この定義だと公理も定理になってしまいそうですが、公理はふつうは定理には含めません) 公式:定理のうち、数式の形であるもの。(ただし、例外はそれなりにあり、数式の形であっても公式と呼ばれない定理はあります) 証明:命題の真偽を、真偽が既知の命題から導いた文章のこと。 さて、質問の意図を確認したいのですが、ある数学的概念〇〇に対して、 〇〇の定義、〇〇の命題、○○の仮定、○○の公理、○○の定理、○○の公式、○○の証明というのを述べてほしい、ということで合っているでしょうか。 しかし、○○にどんなものを入れても、意味が通らないものが確実に出てきます。たとえば、○○に「三角形」という言葉を入れると、「三角形の仮定」という言葉は意味不明です。なぜなら、仮定という言葉は、上に述べたように、命題に使う言葉だからです。つまり、○○の仮定、という言葉の、○○の部分は必ず命題でなければいけません。 この時点で、○○に入る言葉はかなり絞られてしまいます。○○には命題が入らないといけませんが、命題の一つとしてピタゴラスの定理がありますね。じゃあこれを○○に入れてみるか、となると、ピタゴラスの定理の命題、ピタゴラスの定理の定理、などとなってしまいさらに意味不明です。 つまり、〇〇の定義、〇〇の命題、○○の仮定、○○の公理、○○の定理、○○の公式、○○の証明の言葉のそれぞれの○○に、一つの数学的概念を入れて意味が通るようにするのはかなり困難です。(証明していないので不可能とは言えませんが、おそらく不可能でしょう) これは、あなた自身がたどり着いていることでもあります。等差数列という言葉を○○に入れてすべて意味が通るようにするのは困難であることはあなた自身確認しています。 つまり、これらの言葉はまとめて扱うものではありません。たとえば〇〇の身長という言葉と〇〇の県庁所在地、という2つの言葉の空欄に同じことばをいれて意味を通すことはできるでしょうか?できませんよね。それぞれの〇〇には違う性質のものが入るからです。 まとめると、今のままでは問題に答えるのは難しいと思います。

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質問者

2020/9/20 11:43

回答ありがとうございます。 数学:公理・定義を正しいと仮定し、そこから常に正しいと証明することのできる定理なるものを導いていく これは間違っていますか? 定理というものはどれにでもあるわけではないのですね?定理というのは証明されているものなのではないですか?

その他の回答(3件)

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「自然数」という数の集合の定義します。自然数の集合とは次の5つの公理を満たすものです。▼1) 自然数0が存在する。2) 任意の自然数aにはその後者が存在する。3) 0はいかなる自然数の後者でもない。4) 異なる自然数は異なる後者を持つ。5) 0がある性質Pを満たし、aが性質Pを満たせばその後者も性質Pを満たすとき、すべての自然数は性質Pを満たす。▼以下では自然数aの後者をs(a)と書くことにします。自然数に加法+を定義の1),2)を満たすものと定義します。1) 自然数aおよび0に対してa+0=aとする。2) 自然数aおよびbに対してs(a+b)=a+s(b)。▼このとき次の命題が成り立ちます: [命題] すべての自然数aに対してa+0=0+aが成り立つ。[命題の証明] 自然数aがa+0=0+aを満たすことをP(a)と書くことにする。aが0のこちは明らかに成り立つ。P(0)はok。自然数aでa+0=0+aが成り立つと仮定する。このとき後者s(a)については、s(a)+0=s(a)が加法の定義1から成り立ち、加法の定義2から0+s(a)=s(0+a)であるが、仮定からs(0+a)=s(a+0)=s(a)である。P(a)のときP(s(a))がいえるから、自然数の公理5)より、すべての自然数aに対してP(a)すなわちa+0=0+aが成り立つ(証明終わり)

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定義:言葉の意味を厳密に定めたもの。 定理:定義のみから導かれた正しい命題のなかで特に重要なもの。 命題:論証可能な(正しいかどうか検証できる)性質で、正しいと証明されたもの。 公式:定理の一種で式の形でかけるもの。 系:定理から派生した命題で定理ほど重要でないもの。 補題:命題の中で定理ほど重要ではないもの。 公理:正しいことを証明できないが、正しいとして論理体系を構築した出発点となる仮定。後に是正される可能性があり、厳密には存在するべきではない。公理から出発した論理体系は公理系という。 証明:定義のみから演繹的に(正しい命題を数珠つなぎにして)命題が正しいことを示すこと。定義のみからでは面倒なので、それ以前に示された定理や公式、系、補題および公理(と公理から導かれた公理系の命題)を用いるのが普通。しかし定理自身の証明にその定理から派生した系や補題などを使うのは論理的に矛盾する(循環論法)ので、問題によっては注意が必要。 仮定:正しいと仮においたもの。または問題における条件。

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7つの単語をとりあえず自分なりに2つに分けます。 公理、定義、定理、命題 仮定、証明、公式 この中で一番根源的なものはおそらく公理です。 例えば、自然数や整数で四則演算を行うときに、 分配法則や交換法則、結合法則が成り立つ というのが公理です。 要は「これは成り立つものとして話を進めていく」という主張が公理です。 次に根源的なものはおそらく定義です。 自然数とは何か、整数とは何かといった、どのような対象をその名前で呼ぶかを主張しているものです。 定理と命題は正直区別が難しいと思います。 命題は真偽が必ず判定できる文章のことです。例えば、 どんな整数nもn^2は0以上である という主張は真の命題です。 定理は真の命題で、よく使われたり、かなり強い主張を述べているものがそう呼ばれる気がします。 例えば、自然数における素因数分解の一意存在性が定理に該当すると思います。 後半の3つは前半の4つとは性質が異なるものです。 仮定は命題における前提条件となる主張です。 上の命題においては「すべての整数」の部分が仮定に当たります。 証明は命題の真偽についてなぜそうなるかを説明する理由です。 上の命題では (-1)×(-1)=1よりしたがう というので十分でしょう。 公式は定理や命題が数式で記述できる場合にそう呼ばれます。 整数論における公式が思いつかないので例は挙げられません。すみません。 少なくとも、命題・定理・公式を別のもとのして捉えるのは間違いです。 正直、質問の内容はそれぞれの単語の意味を全く理解できていない人のものに思えます。 こんなところで質問せずに、学校の先生のようなプロに聞いて見るのがオススメですよ