高校物理・力学の問題です!

高校物理・力学の問題です! 角度θの斜面が床に固定されている。質量M(kg)のおもりの斜面上での移動に関する以下の問に答えよ。 ただし、斜面表面は粗く、表面とおもりの間の静止摩擦係数はμ、動摩擦係数はμ’で一定である。 重力加速度はg(m/s^2)とする。 問題中に出てくるばねのばね定数はいずれもk(N/m)で同一のものとする。 おもりは斜面に対して十分小さく、質点とみなせるものとする。 おもりが移動する際に空気抵抗の影響は十分に小さいものとする。 添付図のように、斜面の上端Aから長さL1(m)離れた点を点B、点BからL2(m)離れた点を点Cとした。そして、BC間のみ、元の粗い表面を保ち、そて以外は摩擦が十分に小さく無視できる滑らかな面とした。 さらにばねを添付図のように配置し、ばね上端側に質量の無視できる受け板を取り付けて、受け板が点Cの位置となるようにしてばね下端側を固定した。そして、おもりを斜面の上端Aにおいて手を離した。 (1)手を離した瞬間から点Bに達するまでの時間t(s)をθ、g、L1を用いて表せ。 (2)点Bを通過したおもりが点Cに達するためにL2が満たしている条件をθ、M、g、μ、μ'、L1のうち必要なものを用いて表せ。 ただし、μ'と斜面の角度はμ'>tanθの関係を満たす。 (3)上記の(2)の条件を満たしておもりが点Cに達してばねが縮んだ後に、跳ね返されて点Bに達する手前で静止するためにL2が満たしている条件をθ、M、g、μ、μ'、L1のうち必要なものを用いて表せ。

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物理学 | 宿題25閲覧xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">50

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(1)手を離した瞬間から点Bに達するまでの時間t(s)をθ、g、L1を用いて表せ。 Ma=-Mgsinθ :斜面に沿ったおもりの運動方程式 a=-gsinθ :斜面に沿ったおもりの加速度(斜面上向きを正) 加速度を積分して速度を求めます。 v=∫adt=-∫gsinθdt=-(gsinθ)t+C C :積分定数 t=0の初期条件を代入して、 v0=C v0=0 :初期速度 v=-(gsinθ)t :速度 t=-v/(gsinθ) :時間 点Bまでは外力の作用は重力だけなので、力学的エネルギー保存則が成立しています。 (1/2)Mv1^2+0=0+Mgh1 :点Aと点B間の力学的エネルギー保存則 h1=L1sinθ :点Bから点Aまでの高度 v1=±√(2gh1)=±√(2gL1sinθ) =-√(2gL1sinθ) :点B到達時速度(下向き-を選択) t=√(2gL1sinθ)/(gsinθ)=√{2L1/(gsinθ)} :点B到達時間 (2)点Bを通過したおもりが点Cに達するためにL2が満たしている条件をθ、M、g、μ、μ'、L1のうち必要なものを用いて表せ。 ただし、μ'と斜面の角度はμ'>tanθの関係を満たす。 おもりが斜面上で静止しているとき、静止摩擦力はおもりを押す力と大きさが同じで逆向きに作用します。 F=-Mgsinθ :おもりを斜面に沿って押す力 R=-F=Mgsinθ :静止摩擦力 おもりを押す力が大きくなると静止摩擦力も大きくなりますが、限界があり、最大静止摩擦力を超えるとおもりは滑り始めます。 Rmax=μN=μMgcosθ :最大静止摩擦力 Rmax≧R :おもりが滑らない条件 μMgcosθ≧Mgsinθ μ≧sinθ/cosθ μ≧tanθ :おもりが滑らない静止摩擦係数の条件 動摩擦係数は静止摩擦係数より一般的には小さいので、 μ≧μ' よって、μ'>tanθ ならば、おもりを押す重力成分は最大静止摩擦力より小さく、最初に静止していたなら静止し続けます。 しかし、おもりは点Bで速度を持っているので、動摩擦力の作用で減速しながら斜面を滑ります。 R=μ'N=μ'Mgcosθ :動摩擦力 Ma=-Mgsinθ+μ'Mgcosθ :点B~点C間の運動方程式 a=-gsinθ+μ'gcosθ :点B~点C間の加速度 加速度が一定なので等加速度直線運動の公式を用いて、 v2^2-v1^2=2aL2 v2 :点Cでの速度 v1=-√(2gL1sinθ) :点B到達時速度(上記(1)項) |v2|≧0 :おもりが点Cに達する(通過含む)条件 |v2|=√(2aL2+v1^2)≧0 2aL2+v1^2≧0 L2≧-v1^2/(2a) L2≦v1^2/(2a) L2≦2gL1sinθ/{2(-gsinθ+μ'gcosθ)} L2≦L1/{(μ'/tanθ-1)} よって、おもりが点Cに達する(通過含む)ときの点Bから点Cまでの距離の条件は L2≦L1/{(μ'/tanθ-1)} (3)上記の(2)の条件を満たしておもりが点Cに達してばねが縮んだ後に、跳ね返されて点Bに達する手前で静止するためにL2が満たしている条件をθ、M、g、μ、μ'、L1のうち必要なものを用いて表せ。 点Cから点Bへおもりが運動するとき、 Ma=-Mgsinθ-Mgcosθ :点C→点B間の運動方程式 a=-gsinθ-gcosθ =-g(sinθ+cosθ) :点C→点B間の加速度 加速度が一定なので等加速度直線運動の公式を用いて、 v3^2-v2^2=2aL2 v2 :点C出発時の速度 v3 :点Bでの速度(到達しない場合は負の値) |v3|<0 :点B手前で停止する条件 |v3|=√(2aL2+v2^2)<0 2aL2+v2^2<0 L2<-v2^2/(2a) L2<v2^2/{2g(sinθ+cosθ)} よって、跳ね返されて点Bに達する手前で静止するためにL2が満たしている条件は L2<v2^2/{2g(sinθ+cosθ)}