① ∀x∈Wt は x=αa+βbt=γc+δdt と表される。さらに det(x, a, bt), det(c, x, dt), det(a, bt, x) は x について線形関数 ベクトル p, q, r のうち2本が同じなら det(p, q, r) = 0 であることから、 det(x, a, bt)=det(c, x, dt)=det(a, bt, x)=0 が導かれます。 ∴ft(x)=0 ∀x∈Wt ② At は線形写像 ft の表現行列であり At=(ft(e1), ft(e2), ft(e3)) で与えられます。直接計算により (i) ft(e1)=(det(e1, a, bt), det(c, e1, dt), det(a, bt, e1))' =(1, t+2, 1)' (ii) ft(e2)=(det(e2, a, bt), det(c, e2, dt), det(a, bt, e2))' =(t, t+2, t)' (iii) ft(e3)=(det(e3, a, bt), det(c, e3, dt), det(a, bt, e3))' =(-2t, -2t-4, -2t)' ですから At = 1, t, -2, t+2,t+2,-2t-4 1, t, -2t です。 ③ Ker ft = {x | At・x=0} が2次元 ⇔ rank At = 1 です。At のランクを見るため、階段行列に変形します。 At = ①, t, -2, t+2,t+2,-2t-4 1, t, -2t ⇒ ①, t, -2, ０,-(t-1)(t+2),2(t-1)(t+2) ０, ０, ０ この行列がランク＝１であるための必要十分条件は (t-1)(t+2)＝０ ∴t=1, -2 ④ 特に t=-2 の場合を見れば dim ker f_{-2} = 2 にもかかわらず ＜c, d_{-2}＞=＜(1, -1, 0)'＞：1次元 なので dim W_{-2} ≦ 1 であり(実際 W_{-2}={0} です)、 ker f_{-2} ≠ W_{-2} 従って常に ker ft ≠ Wt とは限らない。