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ID非公開さん D(n)={(x,y)|1≦x^2+y^2≦n^2}, n∈N とおく. 極座標変換により x=r*cosθ, y=r*sinθ E(n)={(r,θ)|1≦r≦n,0≦θ≦2π} Jacobian は ∂(x,y)/∂(r,θ) = r ∫∫[D(n)] 1/(x^2+y^2)^2 dx dy = ∫∫[E(n)] 1/r^4 r dr dθ = ∫∫[E(n)] 1/r^3 dr dθ = ∫[0,2π]∫[1,n] 1/r^3 dr dθ = (-1/2)∫[0,2π] (1/r^2) [r:1,n] dθ = (-1/2)∫[0,2π] (1/n^2-1) dθ = (1/2)(1-1/n^2) θ [θ:0,2π] = (1-1/n^2)π ∫∫[D] 1/(x^2+y^2)^2 dx dy = lim[n→∞] ∫∫[D(n)] 1/(x^2+y^2)^2 dx dy = lim[n→∞] (1-1/n^2)π = π
質問者からのお礼コメント
ありがとうございました！助かりました。
お礼日時：1/8 21:58
