位相空間論の連結性に関する質問です。 ハウスドルフ空間の連結集合は無限集合なのでしょうか？
位相空間論の連結性に関する質問です。 ハウスドルフ空間の連結集合は無限集合なのでしょうか？ 感覚的にはおそらくそうだとわかるのですが、証明が分かりません。 厚かましいのですが、証明していただきたいです。 よろしくお願いいたします。
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ベストアンサー
asb********さん ※定義として : 位相空間 X の部分集合 A が連結であるとは, A に X の相対位相を入れたとき, 部分空間 A が連結であること. X を位相空間とする. (i) 1点集合は連結である. a∈X について, 任意の1点集合 {a} が連結であることは明らか. (a∈X を含む任意の2個の開集合の共通部分には a が属していて空でないから) (ii) 2点以上の有限集合は連結ではない. 任意の2点以上の有限集合 A は {a_1,…,a_n}, a_i∈X, 2≦n と表せる. X がハウスドルであることから, a_1 のある開近傍 V(a_1) と, a_1 ではない a_i のある開近傍 V(a_i) が存在して, その共通部分が空集合であるようにできる. V(a_1) ∩ V(a_i) = Φ, i≠1 ⇒ V(a_1) ∩ {∪[2≦i≦n]V(a_i)} = Φ ⇒ A ∩ (V(a_1) ∩ {∪[2≦i≦n]V(a_i)}) = Φ ⇒ (A∩V(a_1)) ∩ {∪[2≦i≦n](A∩V(a_i))} = Φ A∩V(a_1) も ∪[2≦i≦n](A∩V(a_i)) も部分空間 A の空ではない開集合である. そして (A∩V(a_1)) ∪ {∪[2≦i≦n](A∩V(a_i))} = A であるから, A は空ではなく共通部分が空である2個の開集合の和として表せる. ゆえに, A は連結ではない.
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質問者からのお礼コメント
ご回答していただきありがとうございます。 先にご回答していただいた方がおっしゃった通り、1点集合について言及するのを忘れていましたが、それについても証明してくださりありがとうございます。 問題としての答えなら先に答えてくださった方で十分だと思うのですが、私が質問したい箇所を答えてくださったので、clickys様をBAとさせていただきました。タオパイパイ様もご回答していただきありがとうございました。
お礼日時：1/14 17:29
