kai********

2021/1/25 20:11

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大学数学の線形代数の問題です

大学数学の線形代数の問題です n 次正方行列 A がべき零行列であるための必要十分条件は，A の固有値が0のみ(したがっ て重複度は n)であることを示せ どなたか解いていただけますか？？

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緊急事態宣言

2021/1/25 20:12

◆ A がベキ零行列 ⇒ A の固有値が 0 のみ λ を A の固有値と v (v ≠ O) を λ に対する A の固有ベクトルとすると Av ＝ λv A²v ＝ λ²v … (A^k)v ＝ (λ^k)v となり A はベキ零行列より A^k ＝ O を満たすので (A^k)v ＝ O (λ^k)v ＝ O かつ v ≠ Oより λ^k ＝ 0 より λ ＝ 0 となるので A の固有値は 0 のみ ◆ A の固有値は 0 のみ ⇒ A はベキ零行列 A の固有値がすべて 0 のとき A の固有方程式を Φ(t) とおくと Φ(t) = tⁿ となり ケーリー・ハミルトンの定理より Φ(A) = Aⁿ = O より A はベキ零行列